ym — 5j/" -f 8y' — 4y = cvzezx

Opérer comme dans l'exemple 8, en prenant pour solution particulière

y = {clx~ -f- $x?J -\- yx4)e2*.

12. L'équation linéaire y" + P jr + Qy = X peut se ramener à la forme u"-|-Ru = X.

En effet, si l'on fait y = uz, u et z étant des fonctions de x, on trouve

u"z 4- u'(Zz' + P*) + «*(*" 4- P«' + Q) = X ;

en posant 2-s' 4- P^ = 0, on a z = e 2J f etc.

E0sm^-L^

Cette équation est linéaire et du 1er ordre. Ecrivons-la ainsi

di r . E0 . 2tc ,.

rf7+r=Lsmï' (1)

et employons la méthode du § 21 5. L'équation sans second membre a pour

rt intégrale générale i = Ce L; une solution particulière de (1) a la forme

l = a. S1U -=-t -\- p COS — t,

et en la substituant dans (1) on trouve

27ca rp 2^ ra__E0

E0T2r 2tiE0LT

a " . 4tt2L2 4-r2T2 ' ^ ~ 4u2L2 - - r2T2

Si l'on pose

(3 2ttL

(*) Les exemples 13 et 14 sont empruntés à la théorie mathématique de l'électricité.

l'intégrale cherchée sera

-in 7,, * — »" ) + Ce l 4tc2L2

dt

Les racines de l'équation caractéristique de cette équation linéaire homogène à coefficients constants sont

VïL« ~~ ci ;

on en conclut pour l'intégrale cherchée

y = e~2L "[A^y 4L2 ~ ^ -f Bff-^itâ Si les valeurs de a sont À ± jji \/ — ï» l'intégrale est

y =e^t (M cos ^ -{- N sin pt) .

Si les valeurs de x sont égales, on a

ty = e""2T(A4- B#).