Considérons d'abord une équation unique

/ dy dry dmy\

bry' d~x dx*"' 'dx^)"0' f1)

Si l'on représente par une lettre chacune des dérivées, excepté celle qui est de l'ordre le plus élevé, l'équation proposée est remplacée par un système d'équations simultanées du premier ordre. Ainsi, l'équation (1) est équivalente au système

du , dy' „ di/m~V

ClOC/ (XOU et Ou

FjVy.y'.y", ...,*<*-», -Ç") =0.

On considère y', y", ..., yO»-1) comme de nouvelles variables. Soit ensuite un système de deux équations, par exemple

/ dy d2y dzy dz d2z\ n

{?' y'dx"do^' dx~* ' *' clx ' dx~*J '

/ du d*y dz\

fX'^'-à""-^"'^)"0-

On peut le remplacer par le suivant, composé d'équations du premier ordre,

dl f/i d^ „m ^ f.rw ** „» <&; y' dx'~y ' dy"y ' dx~~"J

Et ainsi de suite.

228. Forme canonique. — On vient de voir qu'on peut ramener une équation ou un système d'équations à un système du premier ordre. Pour fixer les idées, supposons un système du premier ordre en y, z, u; on pourra, en général, le résoudre

, dy dz du

par rapport aux dérivées -~ > ■=— » -y- > et le remplacer par des 1 x ^ a.v ajc rt5C

équations de la forme

r/?/ N dz P rfw Q dx ~~ M ' ôfo M ' ôfo M '

fia? c^/ r/j û?« 0U M = N = P = Q '

M, N, P, Q étant des fonctions connues.

Telle est la forme normale ou canonique d'un système d'équations différentielles.