Système intégral. — Soit à intégrer le système

ciy .p-,, N dz . du , .

dx = ^'T' y' *' U'' dx = 2^' ,?A *' U'' dx = 2^' y' *' U''

Choisissons arbitrairement un premier système de valeurs simultanées x0, y0, z0, u0 des variables. Les équations précédentes feront connaître les valeurs correspondantes des dérivées

dy dz- du ->-,,. , ,

y—> j—> i — ; en les dérivant par rapport a x et en remplaçant

dy

x, y, z, u, y- > ..., par xoy0 z0 u0 et les valeurs qu'on vient de

d2y d2z d2u trouver, on obtiendra les dérivées -r~ > T ~, > , -0 » pour ac = av

dx2 ax2 ax2

Et ainsi de suite pour les dérivées des ordres supérieurs.

Cela posé, si y, z, u sont développables en série par le théorème de Taylor, nous aurons (142)

Z = ZQ -f- [X X0)z 0 l" " -j <r> z 6 ~T~ '• •> 6tC.

où y0, s0, *z0, y'0, s'0, w'0, ... sont les valeurs de y, z, u, y', z', u', ... pour x = x0.

Il importe de remarquer que y, s, n dépendent de trois constantes arbitraires y0, z0, u0.

En général, un système de m équation du premier ordre entre une variable indépendante x et m fonctions y, z, ... admet un système de m intégrales contenant m constantes arbitraires

sou$ une forme telle, que Fou puisse donner à y, z, ... des valeurs arbitraires pour une valeur donnée de x.

■ 230. Remarque. — Si la forme canonique est impossible, le

système intégral a une autre forme que celle qui vient d'être indiquée. Soit, par exemple, le système différentiel

dy dz __ ( dy dz 2

d,c dx dx dx

c,. ,, m- • dz dy ,.

Si 1 on élimine , ■> ~ disparaît en même temps et il reste dx dx L

y = 2x2. Le système proposé est donc équivalent au suivant

Eliminons 3' entre ces deux équations; nous aurons

,lz 1 r a v o n ^v2

- — U §x — 0 cl ou z = L — — « «j; 2

Par suite, le système intégral est