S5 + Y.V + V + ...+TV
fit
dx + YntJ + ZnZ + . . + Tn* = 0 .
232. Théorème. — Si l'on connaît p solutions particulières (yl5 Zj, .... tj (*), (y2, z2, ... t2), ... dw système linéaire homogène (2), les formules
y = c^! + c2y2 + ... -f- Cp.vr, j
z = C^! 4- C2s2 -1- . . 4- GpSTp, f
f = 0^ + C2*2 4-... 4 Cp^p, )
où Cj, C2, ..., Cp sont des constantes arbitraires, donnent encore une solution.
En effet, si l'on substitue les valeurs (3) dans la première des équations (2), le premier membre devient
ICi ^x + Y^C'^ + - + TiSCi*' (*' ^ *' 2' •-' P) ou 2Qi(^ + Y1yi + ...+Tlft)!
par hypothèse
donc la première des équations (2) est vérifiée par les valeurs (3), etc.
0 Ji» z\> — - ^i désignent ici des fonctions de ac qui, mises à la place de y, z, ..., t, réduisent les équations données à des identités.
233. Remarque. — Si l'on connaît n solutions particulières du système homogène (2), savoir (ylt zu ..., tx), (y,, z,, ..., t9)t ..., {}" m zny ..., tn), la solution générale sera
V = V\V\ + C2yl H- ... + Cnyn,
Z = 0XZX -f- C2S2 -f- ... -|- CnZn, t = C^j -{- ^V2 4" ••• "h Cn*n>
pourvu que le déterminant
yn
Zn
ti h
ne soit pas identiquement nul.
En effet, les formules (4) donnent une solution (232). Pour que cette solution soit générale, il faut (229) qu'on puisse faire correspondre à une valeur donnée x = x0 des valeurs arbitraires de y, z, ... t; ce qui exige que les équations (4) puissent être résolues par rapport à Cu C2, ..., Cn, ou que le déterminant (5) ne soit pas nul pour toute valeur de x.
234. Théorème. — Si Von connaît une solution particulière (Y, Z, ...) du système (1) et une solution (ylt zl5 ...) du même système sans seconds membres, une solution du premier système est(Y + yltZ + zlt ...).
En effet, par hypothèse
dY
dx
dyi
dx
+ YlY + ZlZ + ,..+T1T — Xlf + Y1y1 + Zi*i + ..- + TA=0;
en ajoutant ces égalités membre à membre, on obtient
d(Y^yi) + Y><Y + 2/.) + Z*(Z +*,) + .»- Xi-
Donc les valeurs y = Y -\-y19 z =>Z-{-zl9 ... vérifient la première équation du système (1), etc.
Neuberg, A n. inf., II.
Remarque. — Si (y15 fclf ... tx) est la solution générale du système (2), (Y -\- ylt Z 4- «n •'••» T -f- £,) est la solution générale du système (1).
235. Théorème. — Etant donné un système linéaire du premier ordre avec seconds membres, si l'on connaît la solution générale du même système sans seconds membres, on peut trouver la solution générale du premier système par des quadratures.
Supposons que les formules (4) représentent la solution générale du système (2). Les mêmes formules donneront la solution du système (1), pourvu que l'on remplace Clt C2, ..., Cn par des fonctions de x convenablement choisies. En effet, si l'on porte ces valeurs de y, z, ..., t dans la première des équations (1), on obtient
% £ + sc>£ + YiECiyi * z'SCi-i + • • + T'SCi'i = x"
d'où, en ordonnant par rapport à C1? C2, ... Cn,
-yi S + sCi(£ + Y>yi + z^ + - + Ti<i)= Xi< (i=1' 2'-M)'
Les coefficients de Cn C2,.. ,On sont nuls parce que (y^z^^J-^), (}*j, z.,, ... t»), ... sont des solutions de (2); on doit donc avoir
On trouve de même
Résolvons ces égalités de condition par rapport aux quantités
dC, dC, .
— =— » -5— »'•• » nous aurons
Ç?^ . Ni C/Cg __ Ng ^Cn __ Nn
e&c D dx D afo? D
D désignant le déterminant (5). Par conséquent
Oi^ + f^dk C2-c2+|^2^, .-, Cn = cn-}-J^, c1? c2, ..., cn étant des constantes proprement dites.
Le système intégral est donc
V = c&i + c2y2 4- ... + Cn?/n + .Vi I j/ dx + y% j 2 ^ -f ... , etc.
Système de deux équations linéaires.
236. Méthode de d'Alembert. — Soient les équations J + Py+Q* = X, j
Ajontons-les après avoir multiplié la seconde par une indéterminée 6 ; il vient
% + « % + (P + P,% + (Q + Q,»)* - X + XJt. (2)
Introduisons l'inconnue auxiliaire
dy nous pourrons éliminer y et ^- de l'équation (2). En observant
te iV
que
dy ,,dz dt ^ o?ô
CtOC Œ00 CtOu CtOC
on obtient
J - * J + (P + P,») (< - 0.-) -f (Q + Qfi)z = X + X.6. (4)
Pour éliminer encore z qui n'entre qu'à la première puissance, égalons à zéro son coefficient; on aura ainsi les équations
dt *
L'équation (5) détermine l'inconnue auxiliaire 6. Elle est, en général, difficile à intégrer. Cependant, si l'on en connaît seulement deux intégrales particulières 8t et 62, l'intégration du sys-
tème (1) est ramenée à des quadratures. En effet, l'équation (6j étant linéaire et du premier ordre, on a (151)
f(P+P e)dx . /(p-H^ejd* -,
t = e [) (X -\- Xflje dx -\- c\. (7)
Soient tlf t2 les deux valeurs qu'on obtient pour t en remplaçant dans l'égalité (7) 8 successivement par 81 et 62, et c par cx et c2. Le système intégral de (1) sera
de là on peut tirer les valeurs de y et z en fonction de x.
237. Équations à coefficients constants. — Lorsque P, Pn Q, Qj, sont des constantes, on satisfait à l'équation (5) en posant
(P + Pi6)6-Q-Q16 = 0; (8)
car l'équation (8) donne deux valeurs 8^ 82 indépendantes de x,
de manière que -j— = -3 — = 0.
x dx dx
Si les racines de (8) sont réelles et inégales, on prend pour tlt
t2 les valeurs
ix = e-(p+pi6Jdx [j* (X -f XJ^+ïi^dx + cj, t2 = e-(p+pie2)^f|(X + X^2)dp^i^)^dx -j- c2].
Si 01 = 82 on a une seule valeur de 6. Mais le premier membre de (8) étant alors un carré parfait, l'équation (5) se ramène à
*+Pl(e-«). = 0, ou ^ ^i. + pi<te-0;
en intégrant on trouve
8 — a l Pi^-h C
On prendra deux valeurs particulières de 8, par exemple celles qui correspondent à c = 00, c = 0 ; c'est-à-dire
81 = a, 82^a + pL.
Enfin, lorsque les racines de (9) sont imaginaires, l'équation (5) est de la forme
!® 4- p.[(8 — m)2 + n2] = 0, ou ^ — -^-r— « + P^ = 0 ; doc (8 — my-\-n2
elle a pour intégrale
- arc tg - - + P^ = c, ou 0 — m -\- n arc tg n(c — P^).
IV iv
On prendra pour 61? 62 les valeurs qui correspondent à deux valeurs particulières de c (*).
