Trajectoire orthogonale d'un système de surfaces

Proposons-nous de trouver une courbe qui coupe à angle droit toutes les surfaces représentées par une même équation

où X désigne un paramètre variable.

Les cosinus directeurs de la tangente en un point M(ac, y, z) de la trajectoire sont entre eux comme les différentielles dx, dy, dz ; ceux de la normale en ce point à la surface (l) qui y passe

sont proportionnels aux dérivées partielles F\, F'y, F'z. Ces deux droites étant confondues, on a

dx dy dz

Eliminons X entre les équations (1) et (2) ; nous aurons ainsi un système différentiel qui s'applique à tous les points d'une même trajectoire. L'intégration de ce système conduit aux équations des trajectoires demandées, avec deux constantes arbitraires Cn C'2.

Si l'équation des surfaces proposées est sous la forme F(x, y, z) = X, les équations (2) donnent immédiatement le système différentiel des trajectoires.