Exemple. — Trouver les trajectoires orthogonales des

paraboloïdes

ax2 -\-by2=2lz. (3)

Ces courbes ont pour équations différentielles

dx dy dz

ax by X ^

où il faut remplacer X par sa valeur tirée de (3). Or, les équations (4) donnent

x dx y dy xdx -\- y dy x dx -\- y dy ax2 by2 ax2 -\- by2 2^z

de sorte que le système (4) peut être remplacé par

dx dy x dx -j- y dy

— = y- ■> r == — dz.

ax by 2z

On en déduit

xh = C^», x2 -\-y2 -\- 2z2 = C2.

Telles sont les équations des trajectoires.

Exercices et notes.

L 1 + 4^ + 3* = *, *+ftf + 6*-*.

Solution : y = 30^-* + c2e"7x + j- x ~ — — - ex,

z = — 2C&-** + c2e-'x — - oo + ^ + — e*.

Solution : y = (^ — c2#)e3x +-ex--a;

* = [5Ci + c2(l — 5#)]e3x + -- ex — g a? — --

3' ^ + ^ + - = cos2^, ^2—^ + 3^ = 0.

En éliminant y on trouve

d'où = ( c, + c2a? — -- ) cos 2x -f (c3 -f- c4#) sin 2a?.

Substituons cette valeur dans la seconde des équations données, etc.

Eliminons ar; à cet effet, dérivons (1) et soustrayons-en (2) :

Résolvons (1) et (3) par rapport à z et -- >

343 3? = - 20 p£ + 97 pt 225 ^ + y + 23e* - 20*~*. (5) dx dx3 dx2 dx

Retranchons de (5) la dérivée de (4) :

L'équation a4 — 2as -f- 2a — 1 = 0 a pour racines 1, 1, 1, — 1, donc l'équation (6) prise sans second membre a pour intégrale générale

Une solution particulière de l'équation (6) est de la forme (215)

y =.-.; mx2cx -f- nxc~x ;

on trouve m = — ' n = "g * La solution générale de (6) est donc

y == <* (c, + C2* -f C3** + 1 œJj + e-x/c4 + I| ^

Substituant cette valeur dans (4) on trouve #.

5 ffy = £ ^ «te y y

dx (z — y)2' dx (z — y)2'

En combinant ces équations, on trouve

y dy — zdz = 0,

dx y — z

d'Où y2 z2===Cif {y — ZY = 2{ct—X).

r, dy d2z dz d2y

dœ~^dx2~~ y> dx+dx^ =

„ dy . dz du