ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

Équations qui se ramènent aux équations différentielles ordinaires.

246. On appelle équations aux dérivées partielles ou équations différentielles partielles, celles dans lesquelles les inconnues sont des fonctions de plusieurs variables indépendantes, ces équations pouvant contenir les variables indépendantes, les fonctions inconnues et leurs dérivées partielles.

Une équation différentielle partielle est dite de me ordre quand elle contient au moins une dérivée d'ordre m d'une fonction inconnue, sans quil y entre de dérivée d'un ordre plus élevé.

Les solutions d'une équation ou de plusieurs équations simultanées aux dérivées partielles portent le nom d'intégrales de cette ou de ces équations. Elles peuvent être sous forme explicite ou sous forme implicite ; dans le dernier cas, les équations en termes finis qui déterminent les fonctions inconnues, sont également appelées intégrales.

L'intégration des équations différentielles partielles du premier ordre se ramène souvent à celle d'un système d'équations différentielles ordinaires. Quant aux équations d'ordre supérieur, on ne sait les intégrer que dans des cas très particuliers.

Considérons le cas le plus simple d'une équation qui contient une fonction z de deux variables indépendantes x, y, avec une

ou plusieurs dérivées partielles -r— = p, -— = qy Cette équation définit une surface appelée surface intégrale. On verra qu'une équation aux dérivées partielles du premier ordre admet une intégrale générale qui contient une fonction arbitraire. Cette fonction permet de faire passer la surface intégrale par une courbe donnée à l'avance.