Cas où l'on donne une seule dérivée partielle. — Ce

cas se ramène à l'intégration d'une ou de plusieurs équations différentielles ordinaires.

dz Exemples. — 1° -c- = x2 -f- y2,

La dérivée -- étant prise en supposant y constant, on peut écrire

* = j*02 + y2)dx + y(y)

la constante d'intégration est remplacée par une fonction arbitraire de y.

2° xy2 -- + a*3 = 0.

ày

En regardant a; comme une constante, nous écrivons

dz dy

X — =r == Cl —7 j

d'où — — r = - + »(», * = \/ — -5? — r^i~KT'

3° -- = aa? + ôy -f- c^: -f- w*«

En convenant de traiter y comme une constante, écrivons

dz — cz doc — (ax -\- by -f- m)dx.

Cette équation linéaire en x et z donne (151)

= ecxj I (ax -\- by -\- ?n)e~cxdx -f- <?(*/)

ri a

= ecx (aa? 4- fy + wV~cx ^ e~cx -f- ?(y)

ou <sr = {ax -\- by -\- m) -\- v(y)ecx.

dxmdyn

dnz dmu

Si l'on pose — - — u, on a à intégrer l'équation -— i = 0.

On trouve successivement

^m — lu dm~2U

La valeur de u est donc

où A0, AT, ..., Am i sont des fonctions arbitraires de y. On a maintenant à intégrer l'équation

^4 = Aoo?™-1 + Mec™'2 + ... 4. Am i,

dans laquelle # est regardé comme une constante. Une première intégration donne

dn~lz

1 \ A0dy-\- ...4-J An[rfy4B0,

B0 désignant une fonction arbitraire de x. On trouve ensuite

1^- = a?»-* J A0dy8 + ... + J Am itfy* -f B0y + B„

Bt étant une fonction quelconque de x. En continuant ainsi et en observant que f A0dyn, f ATdyn, ... sont des fonctions arbitraires de y, on obtient

s = Y^m-i +Y^m-2 + ... 4-Ym i-l-Xo!/n-1+X2f-2+...+Xn-i,

où Y0, Yj, ..., Ym i représentent des fonctions arbitraires de y, et X0, X,, ..., Xn i des fonctions arbitraires de x.

248. Remarque. — Certaines équations aux dérivées partielles se ramènent au cas que l'on vient de traiter.

. . d2Z . àz

Exemples. - 1- ^ + a -- - <cy.

dz En posant -- — p, on obtient l'équation linéaire du premier

ordre

donc (151) p = e~*y x yeW dy -f f(«) ;

— 30Ô - De là on conclut

Z = jXa dX "" I 5 dx ~V er*' i^x)dx + W»

/*(.v) et •]/(}-) désignant des fonctions arbitraires,

~ dzz dz dz

Ar<ty dx dy

Soit — = p ; nous aurons

SY-«pr, ou l/ = l/ »

dy dy p z

d'où, en désignant par cp(aç) une fonction arbitraire,

Ip = Iz -\- h(x), ou p = #<p(a?).

En écrivant maintenant

CLJU , .

on voit que l'intégrale cherchée est

ou * = f(œ)^[y),

f(x) et ^(y) étant deux fonctions arbitraires.

249. Cas où l'on donne toutes les dérivées partielles du premier ordre. — Nous ne considérons que le cas d'une fonction z de deux variables indépendantes x, y :

Si M et N ne renferment pas z, nous rentrons dans le problème de l'intégration de la différentielle totale (130) :

dz = Udx + Ndy. (2)

Neuberg, An. inf., II. m

Si M et N renferment les trois variables x, y, z, nous aurons encore la condition d'intégrabilité

dM\ fdN dy J \àx

les dérivées entourées de parenthèses indiquent des dérivées totales par rapport à y ou x, z étant considéré comme fonction de y ou x. Cette condition revient à

dU âM dz dN dN dz dy dz dy doc dz dx

ou, à cause des relations (1), à

^M l n — - ÔN 4- M ^N dx dz dx dz

250. Le problème peut être traité sous une forme un peu plus générale. Soit à intégrer l'équation

Mda> + Ndy -f- ?dz = 0 . (3)

Deux cas peuvent se présenter :

1° Le premier membre de (3) est la différentielle totale d'une fonction F(x, y, z) des trois variables x, y, z ; alors

dx dy dz

et l'on a les conditions d'intégrabilité

dM dN âM dP dN dP

dy dx dz dx dz dy

La relation cherchée entre x, y, z est (136)

jl Mdx + jl N*dy + jl Pahdz = C,

où C est une constante arbitraire et où les indices a, b marquent que x, y sont remplacés. par a, b.

2° Si le premier membre de (3) n'est pas une différentielle totale exacte, l'équation (3) provient de l'élimination d'une constante C entre l'intégrale cherchée F(x, y, z, C) = 0 et l'équation différentielle

dF dF dF

^ dx -\-~ dy + °~ dz = 0.

dx dy dz

Comme on a

ày ~

la condition d'intégrabilité prend la forme

V ~ày

dx dz dx

dP dP dz

dy dz dy

dP dP dz\

dx dz - dx

dz dzou eneore, en remplaçant . - » . ■ par les valeurs (o

° dx dy v '

On voit immédiatement que cette égalité est vérifiée lorsque Mdx |- Nrfy 4 P^ es^ une différentielle totale exacte.

251. Facteur d'intégrabilité. — Si Mdx -±- Ndy -)r Pdz n'est pas une différentielle totale exacte, et que M, X, P vérifient l'égalité (G), i7 existe un facteur v, fonction de x, y, z et" te/, (/«e /c produit v(Mdx 4- Ndy 4- Pdzj est une différentielle totale exacte.

En effet, l'intégrale existe et renferme une constante arbitraire; mettons-la sous la forme F(x, y, z) = C. Nous aurons

par conséquent

ce qui revient à