Nc/y 4- Pdz

équiv

dz

dx

tyT

Les relations (7) sont des identités; autrement, elles établiraient entre x, y, z une ou deux relations distinctes de Tinté-

grale V(x, y,z) — C. En désignant donc par v la valeur commune des trois rapports (7), on aura

F'x = vM, F'y - t?N, F'z -= vP, et par suite

F'xdx - \- F'yc/y + F'z dz = v{Mdx + Ndy + P<&). (8)

Il en résulte que v(Mdx 4- Nrîy -f- Pcte) est la différentielle totale de la fonction F(x, y, z).

Il existe une infinité de facteurs d'intégrabilité. Car l'égalité (8) donne, quelle que soit la fonction <p(iz),

«Pr(F)(Frscto + F'ydy -f F'zdz) = wp'(F)(M<fo + Ncfy + Pcfe) ;

comme le 1er membre est la différentielle de<p(F), y?'(F)est encore un facteur intégrant. A ce facteur correspond l'intégrale »(F)=C, qui ne diffère pas essentiellement de l'intégrale F(x, y, z) = C. Enfin, si l'on connaît deux facteurs intégrants y et y,, l'intégrale cherchée est — = C; car on peut démontrer que vv est de la

forme vv(F), F(.v, y, z) étant l'intégrale de v(Mdx -\- Nc/y 4- ~Pdz). 252. Intégration de l'équation

M<&? 4- Ndy + P<fe == 0. (i)

On peut toujours prendre à volonté, parmi les trois variables x, y, zy celle que l'on considérera comme une fonction des deux autres. Pour fixer les idées, considérons z comme variable dépendante.

Si l'on fait varier z avec x seul, on a dy = 0, et les différentielles dz, dx vérifient l'équation

Mdœ 4- Vdz = 0. (2)

Soit

Ffoy,*,Y) = 0 (3)

l'intégrale de (2); ce sera aussi l'intégrale de (1) si l'on détermine la constante d'intégration Y, qui peut être fonction de y, par la condition que les relations

dF dF dF

Nrfy -j- Vdz - 0. (5)

qui correspondent à z variant avec y seul, soient équivalentes.

Par suite, si l'on remplace dans (4) dz par =f-% et qu'on

élimine z ou x entre l'égalité ainsi obtenue et l'équation (3), l'autre variable x ou z doit disparaître, de sorte qu'il reste une relation entre y et Y ; cette relation fera connaître Y.