dy

dz ■■

Sil'(

)n écrit

on voit que l'intégrale cherchée est

x -\- l{x -\- y -\- z) = le , ou x -\- y -\- z = ce~

3° (y -f z) y dx -f- (a? -f s) * ^ + (y — a?) y <te = 0. (a)

La suite des opérations nous apprendra si l'intégrale existe. En faisant varier z avec x seul, on a

(y + z)y dx + (y — x)ydz = 0,

équation qu'on intègre immédiatement par séparation des variables. On trouve successivement

î=;+zTï-°> -«*— > + <(*+«>-",

Y étant fonction de r seul.

. Différentions (b) eu regardant a* comme constant ; il vient

dy + dz = {y — x) d\ -\- Ydy. (c)

Dans la même hypothèse, l'équation (a) se réduit à

(x -f- z) z dy -\- [y — x) y dz = 0. (d)

Eliminons maintenant z et dz entre les égalités (b), (c), (d). A cet effet, substituons d'abord dans (d) la valeur de z tirée de (b) :

[x + Y(y — x) — y] \\(y — x) - y]dy -f (y — a?)y cfe = 0 ,

et divisons par y — x :

(Y - l)[Y(y - *) - y]^ + y rfs = 0 .

Eliminons dz entre cette relation et l'équation (c) ; il vient

, (Y — l)[Y(y — x) — y] dy — — - — — - dy = (y — x)d\ -|- 1 rfy ;

ou, en réunissant les termes en dy.

! (1 - Y)y - (Y - ï)[Y(y - a?) - y] | tfj/ = y(y - x) dY ;

et en réduisant et simplifiant ensuite par y — x,

Y(Y \)dy+ydY = 0.

Cette équation s'intègre par séparation des variables ; on trouve

c étant une constante arbitraire. L'intégrale cherchée s'obtient en remplaçant Y par la valeur précédente dans [b) ; par suite