Intégrer y efa? — xdy — ote = 0. — Solution : z ■= Cey

6. Intégrer ^- = »y. - SoZiitam ; * = - x2y2 + <?(» 4- i|,(y).

7. Intégrer x ,-" == n -- ■ — Solution : Z — a^+Wy) 4~ 'ï'(y).

8. ay2Z'ldx 4- bzzx~dy -\- cx2y2dz = 0. - Solution : — | }- - =C.

ce y z

9- û24-y~ 4-^2)^4-(s2 + ^4-^2x/y 4- [ce* -\- œy + y*-)dz = 0.

Solution : xy -\- yz -\- zx = C(a? 4~ ,?/ 4~ *) • Si / reste constant, on a l'équation différentielle

dx dz

a2 + xy 4- y2 z2 + zy + y2 '

dont l'intégrale,

— 77; arc tg --^ -4 — arc tg /0l = Y,

0(4-8 à cause de [arc tg a -f arc tg p = arc tg — ^ se ramène à

y 1/3 fe ?/2 — y{x -f *)— 2a* '

?/2 — y(oo -\~ z) — 2xz Xy i/3

d'où, en remplaçant le numérateur par 2y2 — y{x -\- y -\- z) — 2xz,

y2 — xz

Y et YL désignant des fonctions de y seul. Par analogie, l'intégrale cherchée est aussi

~ yz -v

où X) est fonction de x seul. Si l'on tire z de la dernière pour substituer la valeur dans la première, on trouve

•Yj = y — x-\- Xi;

d'où l'on conclut YL = ?/ — C, Xx == x — C.

10. [2xz -f- ^3;^ 4- 2y* dy — 2(x2 + j/2 + a2)c/j = 0. Solution : xz2 -f X2 -j- j/2 + a2 = Ce2.

11. Equation d'une surface dont la normale passe par un point fixe (a, b, c). On a les deux équations

a — x + p(c — z) = 0, (b — y)? -f (c — 5) = 0, qui donnent

(a — x)dx -f (c — z)dz = 0, [h — y)dy -\- (c — sjote = 0,

en sous-entendant que dans la première z varie avec .v seul, dans la seconde avec y seul. On en déduit

Y étant une fonction de y seul. En différeutiant cette équation dans l'hypothèse de x constant, on obtient, 2(c — z)dz == dY\ d'où, à cause de la seconde équation de condition, dY = — 2(b — y)dy, etc.

- :n:\ - Formation des équations aux dértvées partielles.

255. Les équations différentielles ordinaires résultent de l'élimination des constantes arbitraires entre une équation en termes finis et ses dérivées successives (140).

De même les équations aux dérivées partielles se forment en éliminant soit des constantes arbitraires, soit des fonctions arbitraires entre une équation et ses dérivées. Nous allons donner quelques exemples de cette formation.