Soient

deux fonctions données de x, y, z. L'équation

établit une relation entre .v, y, z. Si on la dérive en considérant z comme une fonction de x, y définie par cette équation (2), on trouve (*)

, , , . , , . . . dz ôz <)2z (T2z d-z

{) p, q, r, s, t désignent les dérivées : > — » -r— > - — - > -

Ox dy dx1 ùxùy ôy'1

Entre ces égalités on peut éliminer F'u, F'v; il vient

dit du dit dit dx dz dy dz dv , dv dr dv

dx dz dy dz

d'où, en décomposant le déterminant en quatre autres (I, p. 57),

258. Interprétation géométrique. — Une surface est le lieu d'une courbe qui change de forme et de position d'après une loi déterminée. Soient

les équations de la génératrice : /'et « sont des fonctions données, a et p deux paramètres variables d'une position de la courbe à l'autre. Pour déterminer la surface, il faut encore connaître

une relation

entre ces paramètres ; on obtient ordinairement cette relation en exprimant que la génératrice s'appuie constamment sur une directrice donnée. Si on élimine a, 3 entre (4) et (5), l'équation résultante

représente la surface cherchée.

Cette surface varie avec la relation (5). Toutes les surfaces qui correspondent aux mêmes génératrices (4) sont dites appartenir à une môme famille. Pour obtenir une équation convenant à toutes les surfaces de la famille, on élimine la fonction variable F entre les dérivées premières de (G) ; on trouve ainsi l'équation (3) où n et v tiennent lieu /(a*, y, z), »(a*, y, z).

L'équation (3) exprime que le plan tangent en un point de la surface contient la tangente menée en ce point à la génératrice; car la tangente à la courbe (4) a pour équations

et le plan tangent est représenté par

Nous allons donner ci-après un exemple (259); les surfaces cylindriques, coniques, de révolution, etc., seront traitées plus loin (262, 266).

259. Surfaces cyclotomiques (*). — Une surface cyclotomique (fig\ .'>~ > est engendrée par une circonférence variable

CDM, dont le plan passe par une droite fixe OZ et dont le centre

O est fixe.

Figr. 37.

Si OX, OY, OZ sont trois axes rectangulaires, les équations

de la circonférence mobile sont

a et 3 étant variables. Pour que la surface soit déterminée, on doit se donner la loi suivant laquelle le rayon du cercle varie avec la position de son plan ; par exemple, la circonférence CDM s'appuie sur une courbe donnée AMB (directrice), située dans le plan xy. Si a = F(3) est la relation entre « et 3, l'équation de la surface cyclotomique est

x~ + yz + s2 = F

On en déduit

2x -f 2zp = - F'

2y + 2zq = F

«Mi

JU j *Xj

(*) Pour une étude de ees surfaces, voir les Mélange* Mathématiques de Catalan, t. I, p. 157.

(*rj Si l'on prend pour directrice une circonférence tangente à OY en O, l'équation de la surface est

(x2 + y2 + z2) (x2 + y2) = 4a2ocz.

en éliminant F7- ) on obtient l'équation aux dérivées partielles

de toutes les surfaces C37clotomiques ayant même centre O et même axe OZ :

x% 4- y~ -f- z(px -h qy) = 0 .

260. Surfaces réglées à plan directeur — 1° Si la génératrice rectiligue est constamment parallèle au plan xyt ses

équations sont

ax -f- by = 1 , z = c .

Pour définir complètement la surface, on peut donner deux directrices sur lesquelles s'appuie la génératrice. Ces conditions conduisent à deux relations entre les paramètres variables a, 6, c; on en tire a = f{c), 6 = cp(c). Une génératrice a donc pour

xf[c) -r-y?(<0 = 1, - = c;

d'où l'équation de la surface

Pour éliminer les fonctions f et ©, qui varient d'une surface à l'autre, dérivons l'équation (a) successivement par rapport à x et à y ; il vient

Ces égalités donnent

■V'z) désignant une fonction arbitraire de z. Si l'on dérive cette égalité successivement par rapport à x et à y, on obtient

puis, en éliminant ^'(c),

(/s — pt q

2° On obtient une équation plus simple si le plan directeur est le plan xz. Une génératrice a alors pour équations

en exprimant qu'elle s'appuie sur deux directrices données, on voit que b et c sont des fonctions connues de a ; on peut doue écrire pour les équations d'une génératrice

y —a, z — xf[a) -}- <p(a).

L'équation de la surface sera

On en déduit

ôz d2/~

de manière que l'équation différentielle de toutes les surfaces réglées ayant pour plan directeur le plan xz est