Surfaces développables. — Une surface développable

est l'enveloppe d'un plan mobile dont chaque position dépend de la valeur d'un paramètre variable (I, 356). Soit

ouv + f[*)y + •{*)* = 1 (7)

l'équation de ce plan; c'est aussi l'équation de la surface si l'on y remplace a par sa valeur tirée de l'égalité

qu'on obtient en dérivant (7) par rapport à a.

Dérivons (7) en considérant z et a comme des fonctions de x,y:

a + <p(«)p + [x -h ffz)y + *'(a)z] ^ = 0,

A*) f <K*te + [* + A-)// + •'(*)*] ^ = 0; d'où, à cause de (8),

Si, entre les équations (9), on élimine a, on trouve une équation de condition entre p et g, soit

Dérivons celle-ci successivement par rapport à :v et a y ; nous

aurons

puis, en élimant i>'{q),

ri — s1 = 0.

Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces développai)! es.

On peut encore y arriver en considérant la surface comme le lieu des tangentes à une courbe gauche (I, 266). Si x = f(z), Y — <?(z) sont les équations de cette courbe, la tangente est représentée par

L'équation de la surface s'obtient en éliminant a entre les deux égalités précédentes. Si Ton dérive celles-ci par rapport à x en considérant s et a comme des fonctions de x, et 3* comme constant, on trouve