Pf(*) = (* - «)/"(«) ~l . PVW

et en éliminant .

dx

De même

r + si/y - ?r) = 0.

L'élimination de a entre ces équations donne, comme cidessus, une relation de la forme p = <Ktf), °^e laquelle on déduira 7'/ - .s2 = 0.

Exercices et notes.

1. Eliminer la fonction '•? de l'équation x2 -\- y2 -f- z- = »(# -j-y -f- .s). Réponse : p{z — yj — g(.s — ac) -f- (* — j) = 0.

2. Equation aux dérivées partielles de toutes les sphères de même rayon et ayant leur t'entre dans le plan xy. Réponse : zz(l -{- p'2 -\-q2) = a2.

3. Equation aux dérivées partielles des surfaces admettant des génératrices rectilignes qui s'appuient sur deux directrices rectilignes données.

Soient (Pj = 0, P2==0) et (?3.= 0, P4 = 0) les équations des deux directrices ; on suppose Pi = Ai x -\- B\ y -\- Ci z -]- Di . Une génératrice a pour équations

P]aP2 = 0, P3 pp4==0;

si l'on exprime qu'elle s'appuie sur une troisième directrice donnée, on trouve une équation de condition a = F(f3). Les surfaces considérées ont donc pour équation en termes finis

et pour équation différentielle partielle

IMAi + ÇiP) - P,(A2 + CZP) P4ÇA3 4- C^p) - PJA4 -I- C^p) P2(B, + C,?) - P1(B2 + Crf) "■ P4(B3 + C,î) - - P3(B4 | (:i7j '

Choisissons les axes de manière que les équations des directrices soient (x = 0, y=Q), (y = a, z = b)\ l'équation générale des surfaces sera

On en déduit

?/0 — b) — (y — a) (px -[- qy) = 0.

4. Equation aux dérivées partielles des surfaces dont les sections par des plans menés suivant OZ sont des hyperboles équilatères ayant pour centre () et pour asymptote OZ.

Menons un plan ZOX' coupant le plan xy suivant la droite 0\\ La section de la surface par ce plan a pour équation zxJ = a, les axes étant

OX\ OZ ; comme x' = \ x2-{-y-, la même courbe rapportée aux axes OX, OY, OZ est représentée par

z\f x~ -\- y~ = a, y = fia?.

Pour que la surface soit déterminée, on doit connaître une directrice sur laquelle s'appuie l'hyperbole mobile, ou une redation a = F(S). L'équation de la surface est alors

on en déduit

px + qy + z =•■ 0.

Cette équation aux dérivées partielles exprime que le plan tangent en un point M coupe OZ en un point dont la cote z est double de celle de M.

Cette propriété résulte aussi de ce que le plan tangent contient la tangente en M à l'hyperbole méridienne correspondante.

5. Equation aux dérivées partielles de la surface engendrée par une parabole mobile dont le sommet se meut dans le plan xy : l'axe de la parabole est parallèle à OZ et son plan passe par OZ,

Equation de la parabole mobile :

(V-^2 + 1/2 — «)2 = 2$z, y = yx.

x et R étant des fonctions connues de y, la surface a pour équation

Eliminons les fonctions /'et cp. Nous avons d'abord

= (f + vv)

\Jx~ + y« " 2\Jz T

Jî)-(r + ^')l

don *-J ' * ' = - <p ( -

px -\- qy 2 ' \x,

Ensuite

(px -h qyf = 2^(rx2 -f 2s#?/ + ty2).

6. Equation de la surface engendrée par une droite qui rencontre une droite fixe OZ.

Les équations d'une génératrice sont

y = ax, z = #/'(#) -f '?(«) ; celle de la surface est donc

D'où î» = /- (|) + (-/"' + ?')(- |2) - ? = « + ?') i ' et en éliminant xf -\- œr,

Si l'on dérive une seconde fois, on peut éliminer f f— 1 et l'on trouve

rx2 -f- 2s.s«/ -j- ft/2 = 0 .