pF + (»' + zF'j g, 1 = 9F + (,' + 2F') g

Si l'on combine les équations (1), puis les équations (2), on trouve

dx doi pf — 1 pF

dx ' dy qf qF — 1

d'où pf-\- qF = 1- (4)

Dérivons (4j successivement par rapport à ac et y ; nous aurons rf -h *F + (p/« + pF>) d£ = 0, tf + t¥ + (pf' + qV) J - 0,

da dz rf+sF

(l'OU -T- ! T- == jy , —= •

dx dy sf -f- iF

Mais en vertu de (3) et (4),

dx da pf — 1 q¥ F

ùx' dy ~ qf qf ~f

donc Vjf ± fF == ~l ' ou r/* + 25/-F + tV* * 0. (G)

Soit u le premier membre de (6) ; on a

du dudx du duda

dx dx dx ' dy dx dy

d'où, en tenant compte de (5),

dx > da <^£ du F

da? * dy dx ' d?/ /'

On éliminera le rapport - entre les équations u = 0 et

1 dx^ dy-' dx* ^ ' dx-dy ^ ' dxdy- ^ dy* '

et l'on aura l'équation cherchée.

S. Equation des surfaces canaux.

On nomme surface canal l'enveloppe d'une sphère de rayon constant dont le centre parcourt une courbe quelconque. Si cette courbe a pour équations x = f[z), y~y{z)> la sphère mobile a pour équation

[oo - A*)]2 + [y - ?(«)? + (* - *)2 = R2, (i)

et l'équation de l'enveloppe résulte de l'élimination de x entre (1) et

[a, f(x)]f\x) -f [y - cp(«)]?^a) -f [z - a) = 0. (2)

Soit u le premier membre de (1) et considérons z et x comme des fonctions de x et y définies par les deux équations

dx

En dérivant u = R2 successivement par rapport à x et à y, on trouve

du dudx du du dot.

dx dx ôx ' dy d<x dy

, au ou simplement, a cause de — = 0,

dx

x — /W + O — ")£ = <), y — *(«) + (* — a)? = 0. (3) Comme /"(-x) est nécessairement une fonction de ff(*), nous pouvons écrire

Neuberg, An. inf., II. iïi

Si l'on élimine .\- — fiy), y — 'f (2) entre (\) et (3), on trouve aussi

Portant cette valeur de z — a dans (4) on obtient

pR T. f , çR