Soient z une fonction de deux variables indépendantes

x. y : /), q les dérivées partielles -- > -- , et P, Q, R trois fonc-

tions données de x, y, z. Proposons-nous de déterminer z par la condition

Tp±Qq = R. (1)

La relation cherchée entre x, y, z représente une surface S, que l'on peut considérer d'une infinité de manières comme le lieu d'une courbe G qui change de forme et de position d'après

une loi donnée. Les coordonnées d'un point M mobile sur S et leurs différentielles vérifient la relation

dz = p dx -f- q dy. (2)

Si l'on élimine q entre (1) et (2), on obtient

Q,dz — Udy = p(Qdœ — Pdy). (3)

On peut choisir la génératrice G de manière qu'un point mobile sur G annule les deux membres de (3) ou satisfasse aux deux équations

Qdz — Rdy = 0, Qdx — Vdy = 0,

qu'on peut écrire ainsi :

dx dy dz

Ce système différentiel admet un système intégral que nous supposons mis sous la forme

F(x,y, 5) = a, /•(*,y,s)=fp, (5)

où a, {3 sont les constantes d'intégration.

Pour que la surface S soit déterminée, il faut connaître la loi qui lie a et 3. Si cette relation est

et-'rfp),

la surface a pour équation

On démontre facilement que l'équation (6) est une intégrale de (1). En effet, si p, q sont les dérivées de z tirées de (6), on a pour tout point mobile sur la surface (6)

dz = p dx -\- q dy. (7)

Les équations (5), sous la condition a = »(p), représentent une courbe située sur la surface (G). Par suite, les différentielles dx, dy, dz des coordonnées d'un point d'une telle courbe vérifient l'équation (7); elles vérifient également les équations (4). Mais en remplaçant dans (7) les différentielles dx, dy, dz rar les quantités proportionnelles P, Q, R, on obtient

De là résulte la règle suivante :

Pour trouver i intégrale générale de l'équation Pp -f- Qq = R, intégrez le système différentiel

dx dy dz P = Q = R '

puis établissez une relation arbitraire entre les deux constantes d'intégration du système intégral et éliminez ces constantes.

263. Surfaces cylindriques. — Une surface cylindrique est engendrée par une droite mobile qui reste parallèle à une direction fixe et s'appuie sur une courbe donnée, appelée directrice.

Soient les équations de la génératrice :

co =--az-\- a, y = bz + $, (1)

aetb étant des constantes, a et p des paramètres variables avec la position de la droite. Les équations de la directrice étant

on exprimera que cette courbe et la génératrice se rencontrent, en éliminant .v, y, z entre les équations (1) et (2) ; soit

le résultat de l'élimination. On obtient l'équation de la surface, en éliminant a, |3 entre les égalités (1) et (3) ; par suite, l'équation générale, en quantités finies, des surfaces cylindriques parallèles à la direction (a, b) est

x — az — v(y — bz). (4)

Pour éliminer la fonction », qui varie d'une surface à l'autre, dérivons l'équation (4), tour à tour, par rapport à x et à y :

\ —ap = u\y — bz) (—bp), — aq = ?'(,>/ — bz) (1 — bq),

et éliminons <p'(y — bz) :

ap -j- bq = 1 . (5)

Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces considérées. Elle exprime que le plan tangent est parallèle à la droite x = az, y = bz.

Réciproquement, si Ton part de cette dernière propriété, on

est conduit à intégrer l'équation (5). Il faut d'abord intégrer le système (262)

dx du , ■ \ dx ss= adz,

= « = dz, ou a à ( dy =■ bdz ,

ce qui donne

os — az + «, y = 6 -h ? ; (6)

on élimine ensuite les constantes d'intégration « et (3 entre les équations (6) et une relation arbitraire a — cp(|3).

264. Surfaces coniques. — Une surface conique est engendrée par une droite indéfinie qui passe par un point fixe A (a, b, c) et rencontre constamment une courbe donnée, appelée directrice.

Les équations de la génératrice sont

a et ,3 étant variables avec la position de cette droite. En exprimant que la directrice et la génératrice se rencontrent, on trouve une équation de condition entre a et (3,

Eliminant a et ,3 entre (7) et (8), on aura l'équation, en termes finis, des surfaces coniques de sommet A

z — c \z — cy

Dérivons (9) successivement par rapport à x et à y :

-(pc — a)q __ | /y — 6

" (* - cy

En éliminant

entre ces égalités, on trouve

Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces coniques ; elle exprime que le plan tangent passe constamment par le point A.

"Réciproquement, si l'on définit la surface par cette propriété du plan tangent, on est conduit à l'équation (10). Pour trouver l'équation en termes finis, on intégre d'abord le système (262)

dx dy dz

x — a y — b z — c qui a pour intégrales

l(x — a) = l(z — c)+ fo% l(y — b) — l[z — c) + *p,

ou =a, J- = p. H

Il reste à éliminer les constantes d'intégration a, p entre les équations (11) et une relation arbitraire a = <p(p).

265. Remarque. — La fonction arbitraire <p, qui entre dans l'intégrale générale, peut être déterminée par diverses conditions.

Supposons que la surface conique passe par une courbe donnée

Si l'on fait

~ ~n = *> ^~ — = P» (lo)

les équations (12) et (13; doivent être vérifiées par les mêmes valeurs de x, y, z pour que tous les points de la courbe soient sur la surface. En éliminant x, y, z entre (12) et (13;, on trouvera une relation a = ©(p) entre a et {3. Ce calcul donnera donc la forme particulière de la fonction <p.

Si la surface conique doit être circonscrite à une surface donnée

on ramène le problème au précédent en cherchant la courbe de contact des deux surfaces. Le plan tangent mené en un point (x, y, z) de cette courbe à la surface (14) doit passer par le point (a, b, c) ; donc

et la courbe cherchée est représentée par les équations (14)

et (15).