Surfaces de révolution. — Les surfaces de révolution

sont celles que l'on obtient on faisant tourner nue courbe donnée A autour d'une droite fixe o (axe de révolution).

Comme chaque point de A décrit une circonférence, la surface de révolution est le lieu des circonférences de cercle (parallèle*), qui ont leurs centres sur l'axe ô, leurs plans perpendiculaires à cet axe, et qui rencontrent une courbe fixe A.

1° Supposons d'abord que l'axe de révolution ô coïncide avec OZ. Un parallèle a alors pour équations

X et [j. étant des paramètres variables ; en exprimant qu'il s'appuie sur A on trouve une équation de condition [jt. = <p(X). D'où l'on conclut l'équation de la surface de révolution

oc2 + ?/2 = ?(*).

Dérivons cette équation tour à tour par rapport à x et 3* : 2a?— p<p'(*). 2y--=q>*'(z)s

et éliminons ©'(s); nous aurons l'équation aux dérivées partielles

py — qx = 0. (10)

Inversement, pour intégrer (16), considérons le système

doc dy dz l x dx -f- y dy = 0 ,

qui donne

& -f- y~ = t* , * = x, et posons p. = ©(X), etc.

2° Si l'axe 0 est quelconque, soient (a, b, c) les coordonnées d'un point fixe A de S et soient a, (3, y les cosinus directeurs de 0. Un parallèle de la surface de révolution a pour équations

ax -f $y + yz = À , (a? - «)2 + (y ~ ô)2 + (* - c)2 = ^ ;

car la première égalité représente un plan perpendiculaire à l'axe de révolution, la seconde une sphère décrite de A comme centre. X et \j. sont deux paramètres variables entre lesquels il existe une relation \x = <p(X) , qu'on obtient en exprimant que la

circonférence s'appuie sur A. L'élimination de À et ;;. conduit à l'équation de la surface :

(m - af + (y - &)« + (« - cf = o (aœ + fe + Y*).

En dérivant tour à tour par rapport à x et à y, on trouve

2(x -a) + 2(z - c)p = (a + ypWOtt» -h Py + Y*), 2(y — &) + 2(* - c)g = (P + YsVO** + Py 4- Y*),

d'où en éliminant cp (a.v -f- py -f Yz) »

Pt(y— % — (*— c)P] + ç[(ar — c)«— (a?— a)y] — (a;.-o)P-(y — ô)«. (17)

Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution de même axe. Elle exprime que la normale en un point quelconque de la surface rencontre l'axe de révolution.

Réciproquement, si l'on définit la surface par la propriété précédente, on trouve l'équation (17). Pour intégrer celle-ci, on considère le système différentiel

dx dy dz

{y — % — (z— c)P "" (- - c)a - (œ — a)y ~~ {x—a)fi — (y - b)u '

Multiplions les deux termes de ces fractions respectivement par x — a, y — b, z — c ou par a, p, y, et faisons ensuite la somme des numérateurs et celle des dénominateurs; nous aurons deux fractions égales aux fractions (17). Les dénominateurs des nouvelles fractions étant nuls, il en doit être de même des numérateurs; donc

{x — ci)dx -f- (y — b)dy -\- (z — c)dz = 0,

idx -j- fidy -j- -{dz = 0.

On tire de là

(x - ci? + {y - bf -f (x - c)2 = |x,

ax + $y + yz = À.

En établissant une relation arbitraire u = -f(À) entre les constantes d'intégration, on trouve l'équation, en termes finis, de la surface.

267. Surfaces conoïdes. — Une surface conoïde est engendrée par une droite qui se meut en s'appuyant sur une droite o et une seconde ligne o' données, et en restant parallèle à un plan directeur.

Prenons pour plan dos xy le plan directeur, et pour axe des s la droite o. Les équations de la génératrice sont

et la condition que la droite s'appuie sur une seconde directrice ô' donne une relation entre les paramètres a et [3,

L'équation de la surface coiioïde est donc de la forme

En la dérivant successivement par rapport à x et à y, on trouve

d'où l'on conclut l'équation aux dérivées partielles

px -\- qy = 0.

Etant donnée cette équation, pour trouver l'équation, en termes finis, de la surface, on intègre d'abord le système différentiel

, [ de du

dx dz dz \ = >

- = - - = -zr- » ou / a? Il

( rf*.-0, ce qui donne

puis on établira une relation arbitraire a = %3) entre les constantes d'intégration, etc.

Exercices et notes.