sp —aq = 2x — 2y

Solution : yV2 + al[z + a + \/2(a? — y)] = f

7. (?/ — bz)p — (a? — az)q = bx — ay. Solution : z -\- ax -{- by = <s(x2 -j- ?/2 4~ ~2)-

8. Trouver une surface telle que le triangle Onp ayant pour sommets l'origine O des coordonnées, le pied/> de l'ordonnée d'un point quelconque m de la surface et le pied n de la normale mn à la surface ait une aire donnée ou qu'elle soit proportionnelle à l'abscisse de m.

Solution : z* = *(x2 + y2) 4- 2a2 arc tg - ; z2 = <p(a?2 4- y2) -\- ky.

0. Trouver l'équation aux dérivées partielles de la surface décrite par une droite qui se meut en rencontrant une droite fixe OZ sous un angle donné ». Intégrer ensuite cette équation.

La surface a pour équation z = cot a y x2 -\- y2 -\- © ( - ) •

OT 10. Trouver une surface telle que, en chaque point M, on ait^jr=r = À,

T étant le point de rencontre de OZ avec le plan tangent en M.

Solution : \ x2 4~ y2 4- z2 = a -\- ^+k <p 0C\

12. Trouver une surface qui coupe orthogonalement une suite de quadriques semblables de même centre.

En général, si F(x, y, z) — À est l'équation d'une famille de surfaces, X étant un paramètre variable, l'équation aux dérivées partielles d'une surface coupant les précédentes à angle droit est

dF , dF dF

1 dx  dy ôz

où les dérivées/), q se rapportent à la nouvelle surface.

Si la surface variable est représentée par F(x, y, z, À) -- 0, on éliminera a entre cette équation et la précédente.

Une surface qui coupe ortliogonalement les quadriques

ax~ -\-by% -f cz~ =X,

où X est variable, a pour équation différentielle

apx -\- bqy = cz

et pour équation en termes finis

xc /t/c