Même problème pour les surfaces xyz = X

Equations linéaires aux dérivées partielles.

268. Définitions. — Soit z une fonction des variables indépendantes xlt xt~, ..., xn, et posons

dz dz dz

dx~;==Pii dx~2=P21 •• ' d^=Pa'

On appelle équation aux dérivées partielles du premier ordre toute équation de la forme

/ \2y &i> ^2) ""> &m Pu Pzi "•> Pn) = 0. (1)

Intégrer l'équation (1), c'est trouver une relation

r yZ , x±, x2, . • . , xnj = U (^ )

telle, que les valeurs de z, plt p2, ..., pn déduites de cette relation rendent l'équation (1) identique.

L'équation (1) est dite linéaire si les dérivées plt p,, .., pn n'y entrent qu'au premier degré sans être multipliées l'une par l'autre ; la forme générale d'une équation linéaire est donc

P1p1+P2p2 + ... + Pnpn = P, (3)

les lettres Pn P2, ..., Pn, P désignant des fonctions de z, \\, x2, ..., xn.

Si P n'est pas nul, on peut transformer l'équation (3j en une autre qui est homogène par rapport aux dérivées partielles. En effet, de l'intégrale (2) on tire

dF dF dF ôF

0xl' dz ~ ùx% ' Oz

substituant ces valeurs dans l'équation (3), on obtient

pf + P.f+P «* +...+PDf.-o. (4)

dz axl ôx2 ôxn N '

équation homogène aux dérivées partielles de la fonction F des (n -{- 1) variables z, xl9 x.2, ..., xn considérées comme indépendantes ; la fonction F n'y entre que par ses dérivées partielles.

Cette transformation s'applique aussi à l'équation générale (1).

Xous allons étudier, d'après Jacobi, les propriétés de l'équation (4), et trouver des relations remarquables entre elle et le système

/7r ri rp. il i' fini*.-

CvV C(Jb i tliÀ/ a (■ l\X/y\

ces relations ramènent l'une à l'autre les deux questions d'intégrer l'équation (4) ou le système différentiel (5).

269. Théorème. — Soit donné un système différentiel du premier ordre sous la forme

dz dxx dx2 dxn

P ~ P, P2 "• Pn

et soit

Oj^C, 00^i X2> ..., Xn) = Cj, ®2\%i ^'l> ^*2» '"> ^n) == ^2'

<Pnv^> fà\i ^2> •••' ^n) — ^n*

le système intégral. Chacune des fonctions <p15 cp2, ... cpn est une intégrale de V équation aux dérivées partielles

PÎ'-H-.f' -|-P, f +...+P„^=0. (7)

OZ OXx OX2 OXn

Par hypothèse, le système (G) donne pour xx, x.z, ...,.vn des valeurs déterminées, fonctions de z, c15 c2, ... , cn et telles que, si l'on substitue dans (5) ces valeurs et leurs différentielles, on obtient des identités.

Ces différentielles peuvent aussi se déduire des équations

' ûte -f- .— dx\ -\- ' (/j'„ - - .. -f dxn — 0,

UZ ÔXl OX2 ' ÇlXyn

l~ dz 4- /~ cfo, + .— cfc», -f ... H- , o?J7ji — 0,

dz 4- ' dxY -f- ' (6:2 f ... -\- ' tfa?n = 0.

Mais au lieu de l'aire dans le système (5) la substitution indiquée, nous remplaçons dans (8) les différentielles dz, r/.v,, dx2,

..., dxn par les quantités proportionnelles P, PUYZ Pn; ce

qui donne

ÔZ oxl OX, ôxn

p di +Pi4 + Ps^ +- hl>"^!, °- , (9)

p&L+p .JE! + Pf £»+.•..' + p. £« =0,

os oxx ox2 oxn

Les égalités (9) doivent devenir identiques quand on y remplace xY, A'2, ..., A'n par leurs valeurs en z, clt c2, ..., cn tirées de (6). Je dis que ce sont môme des identités avant cette substitution. Car on peut disposer de cl5 c2, . .., c„ de telle sorte qu'à une valeur donnée de z correspondent des valeurs arbitraires de xlf x2, . .., xn; donc les égalités (9) ont lieu pour un système quelconque de valeurs de z, xlf x2, ...,.vn et, par suite, se réduisent à des identités.

ésulte de là que l'équation (7) est vérifiée par les valeurs

u = cpjf^r, xx, . ., œn), u = tp2(s, a?,, ..., œD), etc.

270. Réciproquement, si u = <p(z, xn ..., xn) esf ïz/ïc solution

Par hypothèse, on a identiquement

*£+ p. £+■-•■■ +*-£-<>■ (lo>

Cette égalité a donc lieu, en particulier, pour toutes les valeurs de.v^.Vo, ...,.vn en fonction de s, qui vérifient le système (5); comme pour ces valeurs, les fonctions P, P,, ..., Pn ont des valeurs proportionnelles à dz, d.v15 . ., dxn, on a aussi

ce qui revient à

tfœ = 0, ou » -= c.

Donc l'équation •;':, .Vj, ..., a\,) — c est une intégrale du système (5).

271. Théorème. — Si le système (5) est intégré par le système (6), la fonction lapins générale qui satisfait a l'équation (7) est de la forme %lf <p2, ..., <?n), où f désigne une fonction arbitraire.

D'abord, l'une quelconque des équations du système intégral (6) peut être remplacée par l'équation

/V?1î ?2> • ■> ?n] = /Tci> c2, ..., cn) ou = c;

donc d'après le théorème (269), la fonction f[ylt y2, ...,'fn] est une valeur de u qui satisfait à l'équation (7).

Ensuite, toute intégrale u(zf xlf ..., xn) de (7) est de la forme /'(cpj, rf2, ..., cpn). En effet, des équations

Çûv^j ^] j •■ *j ^n)

dont les premiers membres sont les valeurs explicites des fonctions ©u <?2, .... <?n et dont les seconds membres sont simplement les lettres »j, <p2, ..., ©n., tirons les valeurs de .v„ ac2, ..., xn. Portons ces valeurs dans la fonction v(z, xl, x2, ... , xn); celle-ci se changera en une fonction de z, <pj, a>2, ..., <pn; il faut démontrer que la nouvelle expression de v(z, xlt ..., xn) ne peut contenir z. Or, si on la substitue dans (7), on obtient

^<p! dxn Ovn àxaJ

^ . , , , , . , tb ds . .

Ordonnons cette égalité suivant les dérivées : — » ••■? -r-1- > les

-î- = 0, ou uz 0

solutions de (/). Il restera P ^- = 0, ou — -=0, ce qui démontre

le théorème.