Application. — Intégrer l'équation
mz = plxl -f- p2x2 ~f ... + pnxa.
Le système différentiel auxiliaire est
ClZ (XX i (XX o (XX n
lll/*e X > X o X fi
il est intégré par
Donnons-nous une relation arbitraire entre cn c2; ..., cn de la
forme
Cj = v (c2, c2, .. , cn) ;
en éliminant les constantes, nous aurons
La fonction 2, quand on remplace xx, x2, . .., xn par ojCj, a#2, ..., <xxn, est multipliée par am; c'est donc une l'onction homogène de degré m ; ce qu'il était facile de prévoir (J, 114).
Equations non linéaires du premier ordre.
274. Construction géométrique de l'intégrale. — Intégrer l'équation
où z représente une fonction des deux variables indépendantes
, , dz dz , .
x, y et ou j) ■= -- » q = -- » c est trouver une équation 1 dx dy
f(x,rj,z) = 0, (2)
telle que les valeurs de z, p, q qui en résultent, réduisent l'équation (1) à une identité.
Géométriquement, cela revient à trouver une surface telle, que les coordonnées de chacun de ses points et les coefficients de l'équation du plan tangent en ce point, prise sous la forme
Z — *^.p(X — <») + tf(Y — y), (3)
vérifie l'équation (1).
Appelons élément de l'équation (1) un point quelconque M(a\ y, z) de l'espace et un plan qui passe par ce point et est représenté par (3), p et q vérifiant l'équation (1). Un point M est associé à une infinité de plans.
Une surface intégrale de (1) est une surface telle que chacun de ses points et le plan tangent forment un élément de (1).
Pour construire une telle surface, donnons-nous arbitrairement une section horizontale A.MB. Le plan tangent en un point M de cette courbe est déterminée par les conditions qu'il l'enferme la tangente en M à la section et que les coefficients
p, q de son équation prise sous la forme (3) vérifient l'équation (1). Un plan horizontal infiniment voisin du plan A MB rencontre les plans tangents menés le long de la courbe A MB suivant des droites enveloppant une courbe A'M'B'. Construisons ensuite en chaque point de A'M'B' un plan contenant la tangente en ce point à la courbe A'M'B' et vérifiant l'équation (1) ; un plan horizontal infiniment voisin de A'M'B' coupe les plans ainsi obtenus suivant des droites enveloppant une courbe A"M"B". En continuant ainsi, on obtient une suite de courbes horizontales A MB, A'M'B', A"M"B", ..., infiniment rapprochées et tendant à former une surface continue lorsque l'intervalle de deux courbes consécutives tend vers zéro. Cette surface est, évidemment, une surface intégrale de (1). Elle dépend de la sectiou AMB. 275. Diverses espèces d'intégrales. — 1° L'équation
où a et b sont des paramètres variables, représente une série doublement indéfinie de surfaces. Si, entre les équations
,-ft f + fp-O, ?+£,-*
dx dz dy dz*
on élimine a et b, le résultat est de la forme
L'équation (1) est une intégrale complète de (2). Les coordonnées de tout point de la surface (1) et les coefficients />, q de l'équation du plan tangent en ce point vérifient l'équation (2).
