II. Si, entre a et b, on établit une relation

l'équation (1) ne représente plus qu'une série simplement indéfinie de surfaces. Celle-ci admet, en général, une surface enveloppe qui touche chacune des surfaces le long d'une courbe, appelée caractéristique. Cette enveloppe est donc également une surface intégrale de (2) ; son équation s'obtient en éliminant a et b entre les trois équations

f + jftW-a <4>

da db ' )

Neubero, An. inf., II. 22

L'élimination ne peut se faire que lorsqu'on connaît la fonction 'f(a).

Les intégrales de -cette espèce sont dites intégrales particutières lorsque la fonction <?(a) est spécifiée. Mais on peut les indiquer toutes par le système (4), qui renferme une fonction arbitraire ®{a) et est dit représenter Y intégrale générale.

III. Les surfaces (1) admettent encore une enveloppe d'un autre genre. Cette enveloppe touche chacune des enveloppées en un seul point ou en un nombre limité de points ; c'est donc une surface intégrale de (1). Son équation, qui résulte de l'élimination a et b entre les équations

est appelée intégrale singulière, parce qu'elle ne renferme ni constante arbitraire ni fonction arbitraire.

276. Exemple. — Considérons les sphères de même rayon et ayant leur centre dans le plan xy. Elles ont pour équation

a et b étant des paramètres variables.

On a

x — a -f- pz — 0, y — b -f- qz = 0 ; (2)

l'élimination de a et b entre les égalités (1) et (2) donne

L'équation (l) est une intégrale complète de (3).

Faisons parcourir au centre de la sphère (1) une courbe du plan xy ayant pour équation b = »(a). La sphère admet alors une enveloppe dont l'équation s'obtient en éliminant a et b entre les égalités

b = <p(a), x — a + (y — by*\a) = 0. j U

Le système (4) représente Y intégrale générale de (3).

Si l'on donne la trajectoire du centre, l'enveloppe est une intégrale particulière. Par exemple, si le centre décrit la droite

y — mx -f- n, l'enveloppe s'obtient en éliminint a entre les équations

(a? — a)2 + ( y - ma — nf -f 32 = R2, a? — a -f- m (y — wa — m) — 0.

Par suite, une intégrale particulière est

[y -nix — nf

Enfin, lorsque a et 6 sont deux paramètres indépendants, la sphère a une enveloppe dont l'équation résulte de l'élimination de a et b entre les trois égalités

Cette enveloppe est le système de deux plans représenté par l'équation z2 — R2 = 0; celle-ci est une intégrale singulière de (3).