Intégration de l'équation

F(oc,y,z,p,q) = 0. (1)

Le problème revient à trouver pour p et q des fonctions de x, y, z satisfaisant à l'équation (l) et à la condition d'intégrabilité

dp\ fùq

ôyj \ôxj ^ '

où les dérivées entourées de parenthèses indiquent des dérivées totales prises par rapport à x ou y en considérant z comme fonction de x et y. Car, si l'on connaît ces fonctions, on est ramené à un problème connu (253).

Dans certains cas on devine aisément de telles valeurs de p et q. Pour traiter la question d'une manière générale, cherchons une seconde équation

qui, jointe à (1), détermine des valeurs de p et q vérifiant la condition (2). Si l'on dérive les égalités (1) et (3) par rapport à x en regardant zy p et q comme fonctions de x, on trouve

dx T dz * ^ dp \dxj ~ dq \dxj '

V + <£p+V(<iA + <>l (dl)=0.

dx ^ dz' ' ^ dp \dxj ^ dq \dx) '

dp

d'où, en éliminant .

dx

dx dz j dp \dx dz } dp \dq dp dp dq) \dx)

Cette égalité détermine (y^V Pour avoir (j-\ il suffit d'}T échanger x et y, p et q ; ce qui donne

\dy^ dzH)dq \dy^ dzH ) ôq ^ \dp dq dqdpj\dyj" Pour exprimer la condition (2), ajoutons membre à membre les

deux dernières équations; les coefficients de (y{)» (^~) étant égaux et de signes contraires, on obtient

(àF dF \df (dj?,d¥ W [dx + TzP) dp + \dy + dzq) dq

dF àf__dFdl dp dx dq dy

f dF , dF\ df „ \ dp * dqj Oz

C'est une équation linéaire aux dérivées partielles de la fonction f. Pour l'intégrer, on considère le système différentiel

— dp — dq dx dy dz

dF , dF dF dF dF^ dF dF dF

dx dz dy dz dp dq dp dq

Résolvons les intégrales de ce système par rapport aux constantes d'intégration, de manière à lui donner la forme

vl(xyy,z,p,q) = cl1

?2KJ/.^^ ?) = C2>

ni**, y, *, p, q) = c4;

on peut prendre pour /"chacune des fonctions <pM <p2, <ps, ©4, et plus généralement une fonction arbitraire de cp,, <p3, »3, <p4 ; on peut même égaler l'une de ces fonctions à une constante arbitraire et substituer l'équation ainsi obtenue à l'équation (3).