Exemples. — 1° z = pq

En supposant F = z — pç, les équations (5) deviennent

dp dq dx dy dz

p q q p 2pq

Eu combinant le deuxième et le troisième rapport, on obtient

dq = dx d'où q = = X -\- a,

et eu vertu de l'équation proposée,

On est ainsi conduit à l'équation

dz -ÛC-^dx + (x + a)d!/' (2)

Si l'on considère y comme coustant, on a

dz = — - — dx, d'où z = Y(x 4- a), x -f- a

la constante d'intégration étant remplacée par une fonction Y de y. Substituant cette valeur dans (2) après avoir fait dx == 0, on obtient

(x + a)^Y = {x -f a)dy, d'où Y = y -f- p. Une solution complète de l'équation proposée est donc :

On en déduit une solution générale en remplaçant p par une fonction arbitraire <p(a) et en éliminant a entre l'équation ainsi obtenue et sa dérivée par rapport à a. Cette solution est représentée par l'ensemble des équations

z = (x -f- «)I> + f («)] , 0 => + a)cp'(a) + y + «>(«).

Si la fonction <p(a) est donnée, on trouve une solution particulière ; par exemple, à p = ma -|- n correspond l'intégrale particulière

z = -: — (y — ma? 4- n)2.

Une intégrale singulière s'obtient en éliminant a et p entre l'intégrale complète et ses dérivées partielles par rapport à a et p ; on aura s = 0.

Une autre intégrale complète de l'équation z — pq s'obtient en combinant les deux premiers rapports (1) ; on trouve d'abord

P = "lq>

à" étant la constante d'intégration. De cette égalité et de z s=s~pqi on déduit

On est ainsi conduit à l'équation

\/z dz dy

dz = aV z dx -|- - - dy, ou -y— = adx -f-

CC v Z

qui a pour intégrale

2i/2 = dus + - 4- b , a

Les équations (5) du § 277 deviennent

dx dy dz dp dq

2py 2qy — z 2(p~ -h q'l)y — q s ^7 — p2 Les deux derniers rapports donnent

pdp -j- </</(? = 0 , ou p2 -f f = a'-. De cette égalité et de l'équation proposée, on déduit

de sorte qu'on a à intégrer

d- =l\Ji*--#y*dx + ^dy. (2)

Si l'on fait dx = 0, il vient

zdz^^ydy, d'où z- — *~y* -f- X.

Portant la valeur de 2 dans (2j et supposant y constant, on obtient

l dX = a Y/Xcfcr, d'où VX = a* -f p. ; Donc une solution complète de l'équation (l) est