Cas particuliers

1° Si l'équation ne contient pas explicitement a% y, 2, ou est de la forme F(p, q) = 0, on peut prendre pour p et (7 deux valeurs constantes a, 6 qui vérifient l'équation. La valeur de

dz est alors

efc — adx - -\~ b dy ;

on en tire Y intégrale complète

z ■■= ax -\- by 4- c.

Comme F(a, 6) = 0, on peut l'indiquer par

a et c étant des constantes arbitraires. 2° Si l'équation proposée a la l'orme

on peut prendre pour p et q des racines des équations

j\x, p) = a, /Ky, <?) = a, où a est une constante arbitraire. Si l'on trouve

alors cte = ^(^j a)dx 4~ <WG/> «)%>

- = J «#, «)d# + J ti(yi «)^ "f- &• 3° Soit à intégrer l'équation

analogue à l'équation de Clairaut. On en déduit

dz = p dx -j- q dy ~\~ x dp -{- y dq -\- df(p, q),

ou, à cause de dz — p dx + q dy,

X dp -Yy dq-\- df{p, q) = 0.

Cette nouvelle équation est vérifiée quand on pose p = a, q = b, a et b étant des constantes arbitraires. Portant ces valeurs dans l'équation proposée, on trouve l'intégrale complète

Z ==■ ax -[- by -j- f(a> b) '■> elle s'obtient en remplaçantp et q par des constantes arbitraires. 4° Si l'équation à intégrer est q = o(yt p), on a

dz = pdx -\-<i(y, p)dy.

En attribuant à p une valeur constante a, on trouve

z = a*- -f-. f ,<p(y, a]cty + £•