o = (~ -fpo?)2. — Intégrale: ;^ f

Equations linéaires d'un ordre supérieur.

282. Soit z une fonction de deux variables indépendantes x, y. Une équation aux dérivées partielles de z est dite linéaire si z et ses dérivées y entrent au premier degré sans que ces quantités soient multipliées entre elles. Par exemple, la forme générale de l'équation linéaire du second ordre est

dx2 dxày dy2 dx oy

A, B, ..., F, H étant des constantes ou des fonctions de x, y.

283. Théorème. — Si une équation linéaire sans second membre admet les solutions

la formule

z-^GJifay) ■fC/2(a?)y)-fC3f3(a;,y)-f ...,

où C], C2, C3, ... sont des constantes arbitraires, donne encore une solution.

Cette proposition se démontre aisément.

284. Équations à coefficients constants. — Pour fixer les idées, considérons l'équation du second ordre

aS+2bS+cP+2D^+2ES+f^°- (,)

Par analogie avec l'équation linéaire renfermant une seule variable indépendante, nous posons z = emx+ny. Alors

dz . dz .

— = ^mx+ny ^ „einx+ny

ox oy

ox* oxo y oyz

Portons ces valeurs dans l'équation (1) ; l'exponentielle disparaîtra comme facteur commun et il restera une équation algébrique entre m et n,

Am2 + 2Bmîi -f Cn2 + 2Dm -f 2E« 4- F = 0,

qui prend le nom d'équation caractéristique.

Soient m == f(n), m = ff(n) les deux racines de cette équation résolue par rapport à m ; des solutions particulières de (1) sont

z = cjf(n)*+ny, z = (?'f(n)x+u>'5

où n reste arbitraire. Si n,, n2, n3, ..., q , c2, ... sont des nombres quelconques, la formule

z == clef("i^x+niy 4- c2ef(n2)x+n?.y -f- ... |

donne également une solution.

285. Cette solution prend une forme plus simple quand l'équation proposée ne renferme que des dérivées d'un même ordre.

Soit, par exemple, l'équation

Ap„+2B "■■*-- J-ct-4 = 0.

dx- dxdy dy-

L'équation caractéristique Am2 -\- 2Bmn -h C/i2 = 0 donne deux valeurs de la forme m = a/i, m = $n. L'intégrale (2) devient

+ cVnVy^x) 4- cr2enyy+?x) -f ...

Vu l'indétermination des quantités nx, n.,, ..., cu c2, .. et de leur nombre, on peut écrire

» et i|< étant deux fonctions arbitraires.