A, B, C, D étant des constantes, intégrer

à3Z d*z àzz d*z

A te* + B dx-dy + ( ^ + ° dp "= °*

On peut raisonner comme an $ 284 on poser z =<f{x -\- *y) ; ce qui, après suppression du facteur œ'"(ac -j-aj*)- ramène l'équation à

A+-Ba + Ça2 -[- Dzs = 0. (I)

Soient an tx2, x3 les racines de (1) ; nous aurons l'intégrale générale (283j Z = ?l(« -h a,//) 4- çpo(â5 + *2<?y) + cp3(a? -f *3y),

?ii T^» fs désignant trois fonctions arbitraires,

Si deux valeurs de a sont égales, on dérive l'identité

- dHjx + a/y) ■ d3y(a? + «y) , c ^3'f(^-f «.'/) . D d?f(x + a,?/)

dr3 dx'ldy dxdyz dy3

= <?'"(^ + a2/)[A + Ba 4. Ca« -h Dx3J, par rapport à a ce qui donne

A ^£+-3*! + ... = yT'> + -lÔ(A + B, + Ca* + D*3)

+ <?'"(# + ai/)(B + 2C« + 3Da-).

a étant racine double de (1), le second membre de l'égalité précédente est nul ; il en résulte que z = j"f (x -\- tzy) est une intégrale de l'équation proposée, etc.

3. Intégrer A ° -, 4- 2B -'- — 4- C %—t = 0, A, B, C étant des cons

ax- ôxôy Je-

tantes (285). Xous indiquons ici deux nouvelles méthodes : 1° Introduisons les variables X = a.v -|- pjr, Y = a'.* 4- 3'jî alors

dz dz dX dz dY dz , dz

àx ~ dX dx ^~dY~âx~a dX + * ~ÔY '

à2z /d2z dX d2z t)Y\ , , f à*z dX à*z dY

à*z dY \ ,fà*3 dX d-z àY\ ^ àXàY àx) \ * yôYàX dx + dY* dx )

dx2 \àX* àx ' dXdY àx

- = a2 £*£ 4- 2aa' -~- 4- «'? - , etc. àX2 ^ àXàY ^ dY2

L'équation proposée devient (À«« 4- 2B*p 4- C?«) ^ 4- 2(Aaa' 4- Ba'p + Bx3' 4- Cpp')

elle se réduit a = 0 et a pour intégrale

oXoY

z = cp(X) 4- +(Y) - ?(«» + Pi/) + *(■'* + P'y),

a a' pourvu que les rapports - > -^-soient les deux racines de Au2-f-2Bu-|-C=0 ;

r r ç> et ^ sont des fonctions arbitraires. Lorsque ces racines sont égales, l'équation proposée a la forme

et se change en

(« + ^)2 13 + 2(«* + 6?) (««' + b?<) £L + (««' + &py JJ = o,

ou en — — = 0 si on pose ai 4~ b$ = 0. Prenons a = 6, p .-= — a ; alors

* = y<?(x) + «kx) = («'« + PVM** - «y) + W* - °>y)-

2° Soient m et n les racines de Au2 4" 2Bu -f- C = 0 ; l'équation proposée peut s'écrire

\A»Z dxdy ) \Oxdy dy2 J

Les parenthèses sont les dérivées de -- — m -r- respectivement par rap-

ox oy

port à x et à y. La question se ramène ainsi à l'intégration du système

dz oz du du

ox oy oy oy

La dernière équation ayant pour intégrale u = cp(j/ 4~ nx)^ la première dépend du système différentiel

dx d'y d« ( dy -\- mdx = 0 ,

1 — m u(y-\-nx) \ dz = v(y -\- nx)dx .

On trouve d'abord y -\- mx = a ; puis, en éliminant y,

cù- = <p[a 4- (n — m)x]dx, z = J<p[ac 4~ (** — m)#]cfa; =/*[a 4- (>& — »&)#] 4~ P>

où /" désigne une fonction arbitraire. Il reste à éliminer a et P entre les égalités

V 4- rnx = a, * = /-(a 4- (;i - »&)#] 4~ p, p == ^(a) ;

on trouve

Si m = n, on a

dz — »(a)o?J7, £ = a;'f(a) 4- P ;

on éliminera a et [3 entre les équations

y -f mx = a, Z — a?<p(a) -f* p\ P = +(«), etc.