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de leurs dérivées, et il faut trouver pour y, z, ... des fonctions f(x), fi(x), ... qui l'ont acquérir à U une valeur plus grande (cas du maximum) ou plus petite (cas du minimum) que les valeurs que l'on obtiendrait en remplaçant f(x), fi(x), ... par des fonctions d'une forme tant soi t peu différente. L'expression ¥(x,y,z . ..) est complètement donnée.

288. L'exemple suivant montre en quoi ces nouvelles questions se distinguent de celles traitées dans le calcul différentiel.

Trouver une courbe plane AMB qui passe par les points donnés A, B et qui soit telle, que Vaire engendrée par iarc AMB en tournant autour d'un axe OX situé dans son plan, soit un minimum (fig. 38).

Adoptons deux axes rectangulaires OX, OY, et soient (.y,, yx), (x2, y2) les coordonnées des points A, B ; la surface engendrée par l'arc AMB a pour expression

U'= 2tt f 2 yds = 2tt \y\Jl +yr% dx.

Il s'agit de trouver la fonction de x qu'il faut substituer à yf pour que la valeur de U soit un minimum.

Les limites xu x2 peuvent être variables en satisfaisant à certaines conditions données. Par exemple, on demande quelle est, parmi les courbes dont les extrémités sont situées sur deux courbes données AC et BD, celle qui, en tournant autour de OX, engendre la surface minimum. Les coordonnées de A et B doivent alors vérifier les équations des courbes données.

A la condition du maximum ou du minimum on peut ajouter d'autres conditions. Ainsi, on peut se proposer de trouver, parmi les courbes de même périmètre / et s'appuyant sur deux courbes données, celle qui, en tournant autour de OX, produit la surface minimum. Dans ce cas, il faut chercher pour y une fonction

telle, que l'intégrale i x* \Ji -\- y'2 dx ait la valeur donnée / et que l'intégrale |x'2 y \/l +y'2 dx passe par un minimum.