DÉFINITIONS ET NOTATIONS
289. Définition des variations. - Soit à chercher le maximum ou le minimum de l'intégrale
- P2 \dx,
V étant une expression donnée, qui contient une seule fonction inconnue y.
Considérons la fonction cherchée y = f(x) comme l'ordonnée d'une certaine courbe AMB ffig. 38). Les limites xlt x2 de l'intégrale sont les abscisses de deux points A, B de cette courbe. Pour plus de généralité, nous supposerons ces limites variables; les points A et B sont alors assujettis à se trouver sur deux courbes données AC et BD.
Soient U la valeur de l'intégrale (1) sur la courbe cherchée AMB, U! sa valeur sur une courbe infiniment voisine A'M'B'. Dans le cas d'un maximum l'accroissement Vl — U est négatif,
quelle que soit la courbe A'M'B'; il est positif dans le cas d'un minimum. Cette condition détermine la fonction f{x),
Pour calculer l'accroissement \Jl — U, Lagrange a créé le calcul des variations.
On peut ramener les variations aux différentielles. A cet effet, nous considérons un double système de courbes défini par deux équations de la forme
* - <?(x> ri. y =■ Kx. ri (2)
où X et {x désignent deux paramètres variables. Si on donne à jx une valeur déterminée et qu'on fasse ensuite varier X, les couples de valeurs correspondantes de x, y appartiendront aux points d'une courbe (;x) ; et celle-ci, quand on fait varier ;x, se déforme et engendre un premier système (fx). De même, en attribuant à X une valeur déterminée et faisant ensuite varier fx, on obtient une courbe (X), et celle-ci engendre un second système (XJ quand À passe successivement par différentes valeurs.
Nous supposons maintenant que la courbe cherchée AMB et une courbe infiniment peu différente A'M'B' fassent partie du S3rstème (<x) et correspondent aux valeurs ;x et jx -f- Afx du second paramètre ; que les courbes AC et BD appartiennent au réseau (X) et correspondent aux valeurs X1? X2 du premier paramètre.
Soit M un point quelconque de la courbe AMB ; ses coordonnées x, y résultent des formules (2) où l'on attribue aux paramètres certaines valeurs X, ;x. Si, laissant fx fixe, on donne à X un accroissement infiniment AX, M passe à un point N infiniment voisin sur la courbe AMB ; ses coordonnées prennent des accroissements Ax, Ay dont les parties principales sont les différentielles des fonctions <p(X, »x), <}(X, jx) par rapport à X. Nous convenons de désigner ces différentielles par dx, dy, de sorte que
& -*&,*) g rfy = *%jOrfX. (3)
Laissons maintenant à X sa première valeur et donnons à ;x un accroissement infiniment petit Akix; le point M passe à un point M' infiniment voisin sur une courbe du système (X), et ses coordonnées prennent des accroissements Ar\\ Axy différents de kx, Ay. Les parties principales de» ces nouveaux accroissements sont les différentielles des fonctions <p(X, jx), <L(X, <x)
Neuberg, An. inf., II. 23
par rapport à ;-». ; on convient de les appeler variations et de les désigner par ox, oy, de sorte que
d©(X, \i) s <ty(X, p.)
o# » *v ry <u, oy = ~±d^~ <*V- (4)
Une fonction F (a*, 3"), si Ton remplace x, y par les valeurs (2), devient une fonction de X, (j.. Elle a au point M une certaine valeur et prend un certain accroissement AF(ac, y) quand on passe de M en N, un autre accroissement A,F(a% y) quand on passe de M en M'. La valeur principale de AF(a% y) est la différentielle
dF dF
**{*, y) = ~d~x d* + -d-y <ty,
où dx et dy ont les valeurs (3) ; celle de AlF(a:, y) est la variation
dF dF
oF(.r, y) = -- ox -f- -- 07/, v ,JI dx ' èy J*
où ox et oy ont les valeurs (4).
Ces notions s'étendent facilement aux différentielles des ordres supérieurs. Ainsi
,., d2cp(X, p) ^2?(X, m-) .v3
«2# = — V, -d'*, crx — — L^,— «A3, . . . d/r dp*
d2F d2F d2F dF dF
<m*; y) = ^ + 2 m*° «y + ^ dy* -1- -£ ** + Ty d'y,
d-F d2F d2F dF dF
«•FK y) = ^ + 2 ^ o* o^ + — oy* + ^ o-* + -«*. etc.
En résumé, la caractéristique d désigne une différentiation par rapport au paramètre À et correspond à un déplacement de M sur la courbe cherchée AMB ; la caractéristique 0 désigne une différentiation par rapport à [jl et correspond à un déplacement de M sur une courbe du système (X) ou à une déformation de la courbe AMB.
Le calcul des variations n'exige aucune nouvelle règle : il suffit de différent ier avec la caractéristique 0. Par exemple, si a, p, y désignent des fonctions de x, y. on a
8(a -f (3 - y) = Sa + 8(3 — 8Y, $(»P) = aô? + PSa-
290. Remarque. — Il n'y a pas lieu de spécifier les fonctions auxiliaires <p(X, jj.), ^(X, (j.) ; il suffit de concevoir la possibilité de
deux systèmes de courbes comprenant le premier deux courbes données S j, S2, le second deux autres courbes données S3, 24, Ces systèmes restant indéterminés, nous comparons en réalité la courbe cherchée à toutes les courbes infiniment voisines. Pour former les équations de nos systèmes, soient respectivement aiK V) = 0, *8(#, y) — 0, a3(tf?, ?/) = 0, a4(#, ?/) = o
les équations des quatre courbes données Sj, £.,, £3, SJ# Si jj. est un paramètre variable, l'équation
(p. — ;x2) ai(.T, ?/) + (p. — m-,) *,(>, y) = 0 (a)
définit un système de courbes comprenant les courbes Si, 22 ; car si l'on fait |j. *= ;j.t ou fj-^f^, on trouve %i(x, y) = 0, oc2(aî, y) = 0. De même, si X désigne un second paramètre variable, l'équation
(X X2)a3(o?, y) -h (X — Xjoc^a?, ?/) = 0 (6)
définit un système de courbes dont £3 et Si font partie.
Par tout point M (x, y) du plan, il passe une ligne (a) et une ligne (6) ; les valeurs correspondantes de f* et X résultent des équations (a) et (b). Inversement, les coordonnées x, y sont des fonctions de X, |J-. Il suffit donc de résoudre les équations (a) et (6) par rapport à .v et y pour obtenir les formules (2).
Plus généralement, on peut remplacer dans les équations (a) et (b) les facteurs \x — p.lt a — \*..2 par deux fonctions quelconques (3i([J-), $->(lJ-), et les facteurs X — Xi, X — X2 par deux fonctions quelconques yi (X), ya (X) ; alors ^ désigne une racine de l'équation ^ (p.) = 0, etc.
On peut aussi ajouter aux premiers membres de ces équations respectivement les termes
(lJ- — \H) (v- — lJ-z) hW H&, y), (À — X,) (X — X2)Y3(X)a6(a?, y),
où[33, y3, as, *6 représentent des fonctions quelconques, etc. Les formules (2) peuvent donc être réalisées d'une infinité de manières.
Permutation des caractéristiques.
291. Permutation des signes d et 8. — Si a est une fonction de x et y,
c/oa = oda, c12qol = od-x — //ôt/a, etc.
En effet, a étant une fonction des paramètres X, p., les caractéristiques d et 0 indiquent respectivement une différentiation par rapport à X et à ;a. Or, l'ordre dans lequel on effectue plusieurs différentiations successives par rapport à deux variables est indifférent.
292. Permutation des signes S et | . L'intégrale U = fëVdx étant rapportée à la courbe AMB, la substitution x = «p(X, ;jl),
y = -}(/, p.), dans laquelle fj. joue le rôle de constante, la transforme en une autre de la forme
j"*2 <»(X, ,,)dX,
où Xv, X2 représentent les valeurs de X aux points A, B.
La variation de II est évidemment la différentielle de l'intégrale précédente par rapport au paramètre <j.; en appliquant la règle de la différentiation sous le signe, on trouve
OU = jl2 Ô<D(À, a)r/À, ou en revenant aux variables primitives :
SU == f*2 SÇVdœ).
Élément déformateur
