Soit à trouver la variation de l'intégrale définie

U = f Vête,

où V désigne une fonetion quelconque de a*, y, y', y", ... ; poulies limites nous écrivons simplement 1, 2 au lieu dea^, x2. Pour simplifier, nous supposerons que V ne renferme que les deux premières dérivées de y et nous ferons

dy d%y d*y

Ix===Pl dx~2==q' dx* = r'

La valeur cliercliée de SU ne devra pas renfermer sous le signe J d'autres variations que Sx et oy ; on y parviendra en permutant les signes d et S, o et J, et en intégrant par parties.

On a d'abord (291)

SU = P o(V dx) = y (ôV dx -f VS dx).

Une intégration par parties, où do = odx = dox, v = ox, donne

f ~ Vo dx = [YSxf — f dY Sx ;

l'égalité (1) prend donc la forme

OU = [V Sxf + P (oV dx — dY Sx). (2)