V étant une fonction de x, y, p, q, on a
dV =, £ dx + ^ dy + ^ dp + g dq,
M, dY , dV . , dY dY .
da? <ty ' dp dq
Posons maintenant
àV ., dY AT ^V T) dY .
= M, — = N, -r- = P, T - = Q, dx dy dp dq
et observons que
d'y __ p dx, dp = q dx, dq — r dx.
Les valeurs de dV, oV deviendront
dV = (M 4- N/> 4- P? + (^r)dx, ÔV - M Sa? + N 8y + P 8p + Q S? ;
si on les porte dans l'équation (2), celle de ôU devient
[ V o.vf + j* [N(ty — p Sj?) 4- P(*p — ? Sa;) -f Q(Ô? — r 8^]<te ; en introduisant l'élément déformateur w = oy — p&Y, on obtient
SU = [VSxjï + f (n« + P g + Q g)«to. (3)
297. Pour faire sortir du signe J les dérivées de to, nous intégrons par parties. En prenant du = -y— efoc, d'où u == u>, on trouve
. rfp
dV ,
où "™ désigne la dérivée totale P, prise en considérant y, /;, r/
Ce *.V
comme des fonctions de x.
. ,, i7 dlu> . ,, , d<.o
De même, si 1 on prend du = -,-— s cLv, d ou y = -.- » on a
dx2 dx
Q 7 « «# dx~
tl)
afo?
2 dQ (fa
CtJC iXOO
(JLJU 9
une nouvelle intégration par parties, ou du = -r- dx, donne
dQ dm
/ i (XX (XX
par conséquent
to
2 f2 rf«
i " J iW dt
d^dX;
Q — dx =
CttXs CtJC/
2 rf2Q^
to -— eu?.
i Cv*X"
Portons les valeurs (4) et (5) dans l'équation (3); il vient
dQT
SU
VSjc 4- Pô 4- Q ~ ctx
Posons, pour abréger,
dV d2Q\ dx+W*)tûda}'
dQ
v*'+ip-â&J>+Q«to
rfi
to
rfP ^Q
La formule [6) s'écrira plus simplement
ôU --= H + f*Kucfo; (7)
elle satisfait aux conditions que nous nous étions imposées.
298. Cas où la fonction V dépend des limites de l'intégration. — Si la fonction V dépend des valeurs xlt y,, p„ qlt x2y ... de X, y, p> q aux limites de l'intégrale, la variation de U se composera de deux parties, savoir celle que l'on obtient sans faire varier les quantités qui se rapportent aux limites, et celle que l'on obtient en ne faisant varier que ces seules quantités. Nous avons calculé ci-dessus la première partie ; la seconde partie est
nfdi R . ùy ; dv , . dv ; \ , . r~fd\ . .dv, àv , dv * \
JiV^g " àyz *% dp2 ^2 dqz * J
Or, ojcn êyp ..., &Y2, ôy2, ... sont des constantes dans l'intégration relative à x; on peut donc écrire la seconde partie ainsi :
oxx ■- — cfo? 4~ %/, -t — cfo? -f- ... -f- ^2 \— dx. (8)
Comme elle ne contient pas les variations courantes Sx, oy, nous la réunissons à la partie désignée ci-dessus par H, de manière que nous écrirons encore
SU -= H + J 2 Kco dx.
Maximum ou minimum d'une intégrale définie.
