Soit à chercher le maximum ou le minimum de l'intégrale

J i où V = F(.v, y, p, q). Si l'on fait la substitution

x =*<p(A, (x), y = <|>(X, fi), on trouve une expression de la forme

et U devient une fonction a(iji) de \*. seul. Or, en général, le maximum ou le minimum d'une fonction a(;x) exige a'({A) = 0, et la déri-

vée seconde a"(jx) est respectivement négative on positive; comme

SU = a'(jjL)fl?{jL, Ô2U =-- a"(;ji)tfu.2,

la condition commune au maximum et au minimum de U est SU =' 0, et l'on a o2U < 0 pour un maximum, §2U > 0 pour un minimum.

Si o2 XJ = 0, on doit avoir également o3TJ = 0. Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion ; dans la plupart des cas, on sait, par la nature du problème à résoudre, s'il y a réellement maximum ou minimum.