On a trouvé
La condition ôU = 0 exige que l'on ait séparément
Car, sans cela, si l'on fixait les variations relatives aux limites, \\ Kwdv devrait conserver la valeur constante — II, quel que lut l'élément déformateur w ; ce qui est impossible.
L'équation
K == N - — + rf2Q - 0 dx dx2
est l'équation différentielle de la courbe cherchée. L'intégration introduit un certain nombre de constantes, que l'on déterminera au moyen de Y équation aux limites H = 0.
Calcul direct de oIJ.
301. Au lieu de passer par les quantités X, P, Q, il est souvent préférable de calculer directement ôU. L'expression finale de &U ne devra pas contenir sous le signe J d'autres variations que Sx et 8y ; on la trouvera en permutant les signes 8 et d, ô et ( , et en employant des intégrations par parties.
Le résultat sera de la forme
SU -H-f f. (Lox -\- hfiy)dxy
L et \jx étant des fonctions connues de x, y, p, q, mais indépendantes des variations de ces quantités. On a trouvé ci-dessus
SU = H + l'i K(ty — pîx)dx ; (2)
les deux formules doivent être identiques, donc II y a là même valeur et
L = — Kpt 1j1 = K, d'où L=— IjiP.
On posera pour le maximum ou le minimum de U,
mais on ne retiendra des deux dernières équations que celle qui est plus facile à intégrer. Le calcul qui a donné la formule (2), avait pour but principal de montrer que les équations Ji = 0, Lj = 0 ne sont pas essentiellement dit'l'é rentes
Surface de révolution .minimum.
302. Trouver, parmi les courbes tracées dans un même plan ^LOY et dont les extrémités sont fixes ou situées sur deux courbes données AC, BD, celle qui, en tournant autour de Vaxe donné OX, engendre V aire minimum.
L'intégrale à rendre minimum est (288) \\ y\j\. + P* dx.
En se reportant aux formules générales du § 297, on a
dy y dp y i + p* dq
dP
vn7(y+;î)-^i p»+^,Î
Le minimum exige
dV
K = N -. = 0 , H = I V&c + Pw]? = 0 ;
dP en remplaçant P et -■-- par leurs valeurs, on trouve
(1 +Pl)t
y \1 1 + ¥ s* .+ , y]\ , («y - p&p) - o , y i +p2 Ji
d'où, en réduisant,
dp
ytx = °'
Sx 4- pty'
y tt=
r VIT
