Equation de la courbe. — Pour intégrer l'équation

éliminons dx au moyen de la relation dy — pdx ; il vient

On en déduit

ypdp dy

du ou — =

pdp

= rz l[ 1 4- P1) + te, ou y - a V 1 + pV

Pour p = 0 on trouve y = a; donc a est l'ordonnée du point de la courbe où la tangente est horizontale (point le plus bas de la courbe).

De l'équation (3) on tire successivement

sj?-

y dX =

ady

« \ly* — az

x -i al (y + VF11"^) + #> (4)

Z? étant une constante arbitraire. Pour reconnaître plus aisément la nature de la courbe, faisons passer l'axe des y, dont la position est arbitraire, par le point le plus bas de la courbe; l'équation (4) devra être vérifiée par x = 0, y — a, d'où ala -f- Ib — 0. Donc

d'où

y + Vy" — *'

et en additionnant

aea, y — \/y2 — a? ~ ae u (*),

La courbe cherchée est donc une chaînette. Pour rendre à l'axe des y une position indéterminée, il suffit de changer x en x — c ; on obtient

0 On multiplie les deux membres de l'équation précédente par

y - My2 -"a2-

— 36'3 — 304. Equation aux limites. — L'équation (2) peut s'écrire

\1-+Pï V 1 4- pi

1° Supposons d'abord que les extrémités A, B de la courbe soient données. On a alors 8jc, = 8y, = 8jc2 = 8y2 — 0, et l'équation (6) a lieu identiquement. Les constantes a et c se déterminent en exprimant que la courbe (5) passe par les points A et B.

2° Si A est donné et si B doit se trouver sur une courbe donnée BD, l'équation (6) se réduit à

ùx2 -\- p.oun = 0, d ou , =

àx2 p2

Elle exprime que la courbe AMB rencontre la courbe BD normalement en B ; car pz et ^2 sont les coefficients angulaires

des tangentes menées en B aux deux courbes.

Pour déterminer a, c, x2, y2, on exprime que l'équation (5) est vérifiée par .y,, yl et par a*.,, y2, que B est sur la courbe BD et que les tangentes en B aux deux courbes sont rectangulaires.

3° Si les deux points A, B se trouvent sur des courbes données, l'équation (0) se décompose en deux autres

W-2 + iW2 = 0, 8a?! -f pl o!/l = 0 ; (7)

car les variations ox.2, §y2 sont indépendantes de oxlf oyx {*). Les égalités (7) expriment que la ligne cherchée rencontre normalement les courbes données AC, BD.

Les six inconnues xl3 yx, x2, x.z, a, c résultent des égalités (7), et de celles qui expriment que les coordonnées des points A et B vérifient l'équation (5) et respectivement les équations des lignes AD, BD.