Autre méthode. — Cherchons directement la variation
de U = I yds. On a
SU — J % ds) = j 01/ ds + J yo ds.
Le terme en oy ds n'a pas besoin de transformation. Pour le dernier terme, observons que
ds2 = dx'z -\- dy~, d'où ds ods = dx . odx -f- dy . ody.
O On pourrait encore dire que la ligne AMB reste la ligne cherchée lorsqu'on fixe l'une des extrémités.
Tirant de là ods, on obtient
Intégrons par parties en prenant, respectivement, dv=$dx=dQX,
du = o J)' = d8y ; il vient
ûfo? =
dx
dx ^ * cls °X
dy R "
La valeur définitive de SU est
y <fe -* + y ts oy
dx
dsïy — d[ y -j-
dy
Le minimum de U exige que la partie intégrée soit nulle, ainsi que les coefficients de oy et de Sx sous le signe | ; c'est à dire
dx . dit
ds
dj
ds> - M
Il suffit de considérer la seconde des équations (9) ; elle donne
i( dy
d (* ds
a, y dx = a\ dx- -\- dy2 , dx = — -.
a dy
