Dérivée indéterminée. — Si pour x = x0, le rapport

ne tend pas vers une limite déterminée, on dit que la dérivée est indéterminée pour x = xQ.

Exemple. y œsin • (1)

En général, si y s'annule avec .v, la dérivée, pour x — 0, est

la limite du rapport - lorsque x tend vers zéro: car les accrois-

sements des variables, au passage du système de valeurs (o, o)

an système .v. y sont représentés par x et y.

Dans l'exemple (1), le rapport ~ i égal a mu j varie indéfiniment entre — 1 et -\- 1 lorsque x tend vers zéro : comme il ne tend pas vers une limite, la dérivée y' est indéterminée pour a*=0.

La courbe représentative passe par l'origine <> des coordonnées sans y avoir une tangente : c'est une ligne sinueuse, composée d'une infinité i\';i rendes qui diminuent en hauteur et en largeur à mesure qu'elles se rapprochent du point O : ces arcades touchent les bissectrices des angles des axes, et la courbe a pour asymptote la droite y 1 Dans l'intervalle [o, h . quelque petit que ]>. la fonction 1 admet une infinité de maxima et de minima.

79. Dérivée à droite, dérivée à gauche. — Soit h un nombre positif qui tend vers zéro, et soit x0 une valeur particulière de x.

1° Il peut arriver que les valeurs de F(«vo -f- h) étant réelles, celles de "F(.v„ — //> soient imaginaires ou que la fonction Im.y) cesse dètre définie pour les valeurs de x inférieures à x ; si alors le rapport

F(x0 + h) — F(oc0) h

tend vers une limite finie et déterminée, on dit que la fonction admet une dérivée à droite pour x = x0 ; on représente quelquefois cette dérivée par F\x0 + 0).

(' Pour un exemple dû à Weierstrass, voir le Journal de Grelle, t 79, p. 29 ou Mathesis, t. 7, p. 222.

De même, si les valeurs de F(x0 |- h) sont imaginaires ou ne sont pas définies, tandis que celles de F(x0 — h) sont réelles, la limite du l'apport

F(.r0 — h) — Fl#0)

si elle est finie et déterminée, prend le nom de dérivée à gauche et se représente par F'(.v — 0).

Exemple. — y eos \1 — x2.

La courbe représentative (fig. 6) est symétrique par rapport à l'axe ()Y. Un point minimum situé sur OY a pour ordonnée eos 1 eos 57°17'48'; deux points d'arrêt A, A' correspondent à .v == ± 1,// = 1. La valeur générale de lu dérivée est

sin V 1 — •>'

lorsqu'on y fait .y = 1 — h ou = - 1 -f- n et qu'on fasse tendre Fig. 6. v Fig. :.

i • i i. siu\ ï — x* ,. ., -, T,

h vers zéro, le rapport --, a pour limite 1. Donc // a

11 Vl— x2 L

respectivement pour limite 1 ou — 1 ; on en conclut que les demi-inngenies en A et A' (menées du côté où la courbe est réelle) passent par O (*).

(*) Si, pour | x | > 1, on écrit (Analyse, I, chap. XXII.)

y == eos (i \ x2 — l) = Ch \x2 — 1,

on peut prolonger lu courbe représentative indéfiniment au-delà des points A el A'.

La l'onction sin V1 — x~ n'admet pas un tel prolongement réel.

Xeuberg. — An Lnf., I. 5

2° La fonction F(.x) étant réelle" dans l'intervalle (.vu — h, x0 |-/n, il peut arriver que les deux rapports

F(*0 -f h) - FM F(.rn - //) - F(.r„) // — //

tendent vers deux limites différentes lorsque h tend vers zéro. Nous disons alors que la fonction admet une dérivée à droite F'(.v0 f- 0) et une dérivée à gauche F'(.\*0 — 0).