j- ex

quand .v tend vers zéro. Or, s ni van! quo .v a une valeur

î infiniment petite positive ou négative, cs est infiniment grand ou infiniment petit; on en conclut que la fonction admet, pour x 0, une dérivée à droite égale à zéro et une dérivée à gauche égale à l'unité.

La courbe représentative ifig', J) possède a l'origine des coordonnées un point anguleux, avec deux demi-tnngentes distinctes. OX et OC, qui touchent respectivement les branches OA et OB.

Désignons par Ei x i, le plus grand nombre entier contenu dans x ; ce symbole conduit à des discontinuités assez, curieuses.

Par exemple, si l'on fait y = x K x . y a la valeur 0 dans l'intervalle (0, 1 —h), la valeur 1 dans l'intervalle (1, 2 — h), etc ; la dérivée y' prend respectivement les valeurs 0, \, 2, . . La ligne représentative se compose (Tune suite de segments rcetilignes.

La fonction y—x~ K .v est représentée par une suite d'arcs de paraboles. La dérivée y' a pour expression 0, 2x, 4.v, ... respectivement dans les intervalles (0, 1 — h\ (1. 2 - h), [2, 3 - h), ...

Les fonctions x E(x), .v- Jv .v sont toujours continues à droite, mais elles sont discontinues à gauche pour les valeurs entières de .v.

80. Dérivée pour les valeurs infinies des variables. — Si v ou y devient infini, un accroissement A.v ou A// n'a plus de sens. Voici comment on définit alors la dérivée.

Soit x a une valeur finie qui rend infinie la fonction V x>. Si celle l'onction ;i nue dérivée P'(.v) pour ^(^ valeurs de .v inl'i-

ni mon I voisines de n, la dérivée, pour x = a, est la limite vers laquelle tend F'(x) lorsque x tend vers ;i ; on peut donc" dire qu'elle est égale à F-'(a). La courbe représentée par // - Kf.vi a pour asymptote' la droite x = à; on en conclut F'(a) --oo. Si F(a) a une dérivée F .y) pour toutes les valeurs de x, quelque grandes qu'elles soient, la limite vers laquelle tend F'(x) à mesure que x croît, sera appelée la dérivée de F(.v) pour x | oo ; on peut donc dire qu'elle est égale à Y\ |- oo). On

définit de la même manière la dérivée pour a* = — oo.

Exemple. —

On a en général

Il en résulte que pour a* = 0, y a une dérivée a droite égale à

— oo, et une dérivée à gauche égale à -{- oo ; pour x ~ ± oo, .'/ - 0.

La courbe4 représentative est formée de deux parties symétriques par rapport à OY et avant cet axe pour asymptote.