VV

Les calculs s'achèvent comme ci-dessus.

Les équations (9) expriment des propriétés de la courbe cherchée. dx*

Légalité d f y -- = 0, par exemple, donne y cos a = a, a désignant

l'angle de la tangente avec l'axe OX ; on en déduit que la projection de l'ordonnée sur la normale est constante. La première égalité (9), sous la forme ydx = ads exprime que l'aire comprise entre un arc de la courbe, les ordonnées de ses extrémités et l'axe OX est proportionnelle à la longueur de l'arc.

Maximum ou minimum relatif.

306. Cherchons la valeur de y qui rend maximum ou minimum l'intégrale

U = $\ V dx ,

sous la condition qu'une autre intégrale définie

J L v dx

qui dépend de la même fonction y, prenne une valeur déterminée /.

Soit X une constante indéterminée. Si l'on cherche le maximum ou le minimum absolu de l'expression

U + lu = fï(V + Xt?)flto,

on trouvera pour y une valeur /i.v, X) qui dépend de X. Déterminons X par la condition que pour y = f(x, À) l'intégrale \\ vdx ait la valeur / ; alors la valeur cherchée de y est f(x, À). En effet, la fonction 3' = /*(.v, À) rend la quantité U ~\- hi maximum ou minimum parmi toutes les valeurs qui correspondent à une valeur donnée de X, quelle qu'elle soit. Si l'on a déterminé À par la condition que u prenne la valeur /, alors f(x, X) rend maximum ou minimum la quantité U -f- )u parmi toutes celles qui répondent à la valeur de X pour laquelle u — l. Ce sera donc la fonction cherchée, puisque \u est maintenant une constante.