Exemples
1° Etant donnés deux points A, B sur plan, trouver parmi les courbes de même longueur 1, situées dans ce plan et terminées aux points A et B, celle pour laquelle l'aire du segment AMB est un maximum.
Prenons pour axes AB et la perpendiculaire en A. Il s'agit de rendre maximum JjJ 3* dx, sous la condition que f* ^dxz-{-dy * = /. Pour cela nous cherchons le maximum absolu de l'intégrale
W = p f y dx + X \!dx2 + dy% \
Les limites étant fixes, nous considérons comme points correspondants sur la courbe cherchée et sur une courbe infiniment voisine deux points qui ont même abscisse. Alors Sx— 0, Sefcc=0, et
SW = p ly dx + X f * ^ Uy ;
si l'on transforme le dernier terme en intégrant par parties on trouve
:xî*l+ £(*-*£>
Le terme intégré est nul parce que les limites sont fixes. L'équation différentielle de la courbe cherchée est
dœ — ï.dd^ = 0.
ds
— sm
On en déduit, successivement,
. du . du
OC — C = A — f- = A — j '
cfcr,
La courbe demandée est donc une circonférence. On détermine les constantes c, c', X par les conditions que la courbe passe par A et B, et que l'arc limité aux points A et B ait la longueur /.
2° De tontes les courbes isopérimètres que Von peut tracer sur un plan entre deux points donnés, trouver celle qui, en tournant autour de Vase OX engendre la surface minimum.
Il s'agit de rendre minimum j " y ds, sous la condition ) ds = L
Le problème revient à chercher le minimum absolu de
Or, 3*+ À est l'ordonnée de la courbe par rapport à un axe O'X' parallèle à OX et dont la distance à OX est égale à A; il suffit donc de chercher le minimum de j] 3* ds.
La courbe cherchée (302) est donc une chaînette ayant pour directrice la droite O'X'; son équation par rapport aux axes primitifs est
On détermine les constantes a, c, À en exprimant que la courbe passe par A et B, et que l'arc AMB a la longueur donnée /.
Remarques sur les équations K -= 0, H = 0.
309. Ordre de l'équation différentielle. — Lorsque V ne contient que x, y, p et q, l'équation
dx dx1
est du 4e ordre, puisque -j-— contient ~ , ou -- • 1 x dx'i dx2 dx-
1° Elle s'abaisse au 3e ordre si V ne contient pas explicitement la variable y. Car l'équation (1) se réduit à
dx dx2 d'où l'on conclut
2° Si x n'entre pas explicitement dans V, l'équation K = 0 se réduira encore au 3e ordre, en prenant y pour variable indépendante. Pour opérer cette réduction, observons que
dV = N dy -f P dp + Q dq,
et remplaçons N par sa valeur résultant de (1), dy par pdx, dq
d~P A par -~-k dx ; nous aurons
ax%
... / dY d-Q\ , ' d2p ,
d'où, en intégrant,
