V-Pp + Q£-P§ + c

3° Si V ne contient ni # ni y, l'équation (1) se ramène au 2e ordre. Car on à les deux égalités (2) et (3) ; en éliminant ~?

on trouve

yrCP + Q^ + c.

310. Détermination des constantes arbitraires. — Représentons l'intégrale de (1) par

Les constantes d'intégration se déterminent généralement au moyen de l'équation aux limites H = 0.

1° Si l'on donne les valeurs de x, y, p aux deux limites, l'équation H = 0 est identiquement satisfaite, car Bxl = 0, oy1 = 0, .... Les constantes c, c\ c'', c"' se déduisent des quatre égalités

^=F'K,c,c',c",c'"), pf-F'K,c,^,^). i

2° Si l'une des six quantités xl,yl,pl,xt,y2,pi reste arbitraire, p2 par exemple, l'équation H — 0 ne sera pas identiquement satisfaite; mais le coefficient de o/>2, ou Q2, doit être nul. Les équations (5) et Q2 = 0 détermineront c, c\ c", c'" et p2.

3° Si l'on donnait une équation de la forme

?Oi> V\> P\* ^2> y^ pu = o, (6)

on en déduirait

dxl ôi/l dpi dx2 - dy2 ~ dp2

En portant la valeur de opz, tirée de cette équation, dans l'équation H = 0, il faudra égaler à zéro les coefficients de °«vi> ty*u àplt ox2, ôy2. Les cinq équations ainsi obtenues, jointes aux équations (5) et (6), feront connaître les dix inconnues c, c , c , c , X}, y i, Pu x2, j"2., p2.

On voit facilement comment on opérerait si l'on donnait deux ou un plus grand nombre d'équations relatives aux limites.