Soit à chercher le maximum ou le minimum de U= Vdx

V étant une expression donnée qui contient deux fonctions inconnues y et z de x, avec quelques-unes de leurs dérivées.

Si f[x) et fi(x) sont les fonctions cherchées, les équations y = f(x), z = f\(x) représentent une certaine courbe AMB ; A et B désignent les points de cette ligne qui correspondent aux limites xl9 x2 de l'intégrale, Pour plus de généralité, nous assujettissons ces points à se trouver sur deux courbes données AC etBD.

La méthode indiquée pour le cas d'une seule fonction inconnue s'étend à la question actuelle. En effet, considérons trois équations de la forme

x —> œ(X, p.), y = <pj(X, p.), z = ©8(X, p.). (1)

Chaque couple de valeurs des paramètres X, u définit un point (.v, y, s); tous les points ainsi obtenus appartiennent à une même surface 2, dont l'équation résulterait de l'élimination de À et u. entre les égalités (1). Si l'on donne à u une valeur déterminée et à X une valeur variable, les équations (1) définissent une certaine courbe tracée sur S; cette courbe se déplace et se déforme quand on fait varier ;j.. De même, si X reste fixe et que jj. varie, le point (.v, y, z) décrit une courbe sur 2, et cette ligne se déplace et se déforme quand on change la valeur de À. Nous engendrons ainsi deux systèmes de courbes, que nous appellerons les lignes ((x) et les lignes (À).

Soient A, A' deux courbes, infiniment voisines, du premier S37stème, caractérisées par les valeurs u, u.-{-du. du second paramètre. Prenons sur A un point quelconque M(#, y, z). Quand on donne à la valeur correspondante de X un accroissement infiniment petit c?à, M glisse sur A et passe en un point infiniment voisin N. Les accroissements des coordonnées de M, si on néglige des infiniment petits d'un ordre supérieur, sont les différentielles des fonctions <p, ©,, ©2 par rapport à X; on les désigne par dx, dy, dz, de sorte que

dx = ■— dl, du = —^ d\. dz = -~~ d\.

Mais si, laissant À fixe, on donne à u l'accroissement c/u, M glisse sur une courbe (X) et passe en un point M' de A', que nous appelons Y homologue de M. Les accroissements des coordonnées de M ont maintenant pour parties principales les différentielles de ©, ©p o2 par rapport à u. Ces différentielles sont représentées par ox, ôy, &s et ont reçu le nom de variations ; on a donc

ox=^-d\x, bu = — '— du., ùz = ' - du. du, r * du. { ' du. r

Plus généralement, une fonction F(ac, y, z) des coordonnées de M est aussi une fonction de X u et on peut la différentier

Xeuberg, An. inf., II. 24

soit par rapport à X, soit par rapport à tu. La première différentielle est désignée par dF(x, y, z) et correspond an déplacement de M en N sur la courbe A; la seconde différentielle, appelée variation et désignée par SF(ar, y, z), correspond an passage de M à son homologue M' de A'.

Cela posé, terminons les courbes ((j.) à deux courbes du s}tstème (X) qui correspondent aux valeurs \lt X2 du premier paramètre, et cherchons parmi ces courbes (\j.) celle qui rend U maximum ou minimum. Le long de la courbe cherchée, tu. reste constant et À varie de Àj à X2; en remplaçant a*, y, z par *(X, \i),

dv cp^X, [j.), ©2(X, [jl), et dx par -f dk, U prend la forme

•2$(X, ùdi,

et devient une fonction de j* seul. Le maximum ou minimum de II exige que sa différentielle par rapport à [jl, c'est-à-dire la variation oU, soit nulle.

Le calcul de ôU peut se faire sans spécifier les fonctions auxiliaires (1). En exprimant que la condition ôU = 0 a lieu quelles que soient ces fonctions, nous obtenons même les conditions pour que la courbe cherchée rende U maximum ou minimum parmi toutes les courbes infiniment voisines. Nous supposons, bien entendu, que les courbes données AC, BD sur lesquelles doivent se trouver les extrémités de la courbe cherchée, soient les deux courbes du système (À) qui limitent les courbes du système variable ({*).

Maximum ou minimum d'une intégrale définie.

312. Variation d'une intégrale définie. — Soit U = j"* Vdx. Si V contient une seule fonction inconnue y et ses deux premières dérivées, on a trouvé

ÔU

H -f- j Koidoc, où to = oy

v8*+(p-s>+Qg

pOX,

d*Q dx1

Si V renferme deux fonctions inconnues y, z et leurs dérivées des deux premiers ordres, la valeur de SU comprend des termes relatifs à y et de la forme qui vient d'être indiquée, plus des

termes analogues se rapportant à z. Les notations relatives à z étant les mêmes que celles relatives à y, sauf à ajouter un accent aux lettres p, q, N, P, Q, K, w, nous aurons

= H+ (Ko -f KV)da?,

où

Vôa? + (p -

TVTf

rf» } , __^2« , p, . ^V ^ dV

ofa? c/x2 dj»' '^/

0/ == oz

Nous avons supposé V indépendant des limites de l'intégration. Si V dépend de ces limites, il faut ajouter à H les termes provenant de la variation de ces limites.

313. Conditions du maximum ou du minimum. — Si U passe par un maximum ou par un minimum, on a ôU = 0. Cette condition donne

En effet, to et w' sont deux fonctions de x arbitraires et indépendantes l'une de l'autre, et H ne contient que les valeurs des variations relatives aux limites de l'intégrale. Donc, si les quantités K et K' n'étaient pas nulles, en laissant constantes les valeurs relatives aux limites, on aurait H = 0, tandis qu'on pourrait faire varier w et to' de telle sorte que l'intégrale

) (Kw + K.'u>')dx ne fût pas égale à zéro. On en conclut K = 0

K' — 0, et ensuite II = 0.

Les équations K = 0, K' = 0 déterminent y et z. IL'éqiialion. aux limites H = 0 détermine les constantes d'intégration.

314. On peut aussi, dans chaque problème particulier, calculer directement une valeur de 'SU, qui ne renferme sous le signe J que les variations courantes Sx, ôy, oz, c'est-à-dire une valeur de la forme

ôU = H -j- (Lj0# -f- L2ô?/ -}- L3oz)dx.

On posera

en observant que les trois dernières équations se réduisent à deux : si l'on compare les deux valeurs de oU, on voit que

L2 = K, L3 = K', Lx = — Kp — K'p'.

315. Si les fonctions y, z ne sont pas indépendantes l'une de

l'autre, mais doivent vérifier une équation donnée F(«r, y, z) = 0,

les variations ox, 5y et 83 ne seront plus indépendantes ; car

on aurait

F'x&» + F'> + F'z Bz = 0.

Tirant de là oz pour porter la valeur dans l'expression de oU, on obtient

oU = H -t- J [Ll riX -f L2 0// — L3 ^ — '- — jdx.

Dans cette formule, les variations 8jc et ôy sont indépendantes l'une de l'autre; donc les coefficients de ox et 8y sous le signe f sont séparément nuls, et Ton a

Li — L3 pp- =0, L2 — L3 ^p

L, Ll a L q

on - - = — - = — - •

Ces deux équations se réduisent à une seule bi l'on tient compte de l'égalité F(xf y, z) = 0.

Ligne minimum

316. Problème. — Trouver la ligne la plus courte entre deux points A et B, ces points étant fixes ou assujettis à se trouver sur des courbes ou sur des surfaces données.

L'intégrale qu'il s'agit de rendre minimum est

U = \\Jdx* + dy~ + dz2.

On trouve facilement

"2 dx . odx -f- dy . Idy -\- dz . odz

Ji V dx2 + dy2 + dz2

f2 dx m C2 dV m , C2 dz r

puis, en intégrant par parties,

^to + ^ + ^k*

ds ' ds * ' ds

dx . c&/ s i /^

Les conditions du minimum sont

dx dy „ dz .,

Â °X + dS *'J + £ 8;

7c6? .dy . , d? drfl=0' "cÊ"0' «*=°- P)

Les équations (3) donnent

cfc ' c/5 y ds '

d'où, en éliminant rîs,

^ ^ r> ^2/ - ^ - TV

et en intégrant,

La ligne cherchée est donc une droite.