Passons à la détermination des constantes
1° Les points A, B sont donnés. Les variations Bxlf $ylt ozu Sjc2, oy2, ôz2, étant nulles, la condition (2) a lieu identiquement. Les constantes D, E, D', E' se déterminent en exprimant que la droite passe par les points (x]y ylf zx), (x2, y2, z2).
2° A est donné et B doit se trouver sur une courbe donnée BD. Comme ^xx = ôy, = ^zx = 0, l'équation (2), réduite à
dx2 ox2 -f- dy2 oy2 -\- dz« oj2 = 0, (5)
exprime que la droite AB est normale à la courbe BD, car les cosinus directeurs de la droite AB et ceux de la tangente à BD en B sont respectivement proportionnels à dxz, dy2, dz2 et °*2, oy2, ùz2.
Pour déterminer les inconnues D, E, D', E', x2, y2, z2, on observe que la droite (4) passe par les points A et B, que B est sur la courbe BD et que la droite AB est perpendiculaire à la tangente à BD en B.
3° Le point A est donné, et le point B se trouve sur une surface donnée S. La condition (5) exprime que la droite AB est normale à une courbe quelconque tracée par B sur la surface S, c'est-à-dire normale à cette surface. On détermine les constantes en exprimant que B est sur la surface S et que x\B se confond avec la normale.
4° Les deux points A et B sont mobiles sur deux courbes données AC, BD. Les variations oxlf $ylt Szl étant indépendantes de ox2, Sy2, &s2, la condition (2) se décompose en deux autres :
dxx oxl -\- dyx ly^ -f- dz1 ozl = 0, dx2 Bx2 -f- dtj2 oy2 -|- dz2 oz2 = 0.
Par suite la droite AB est normale aux deux courbes données.
5° Les points A, B se trouvent sur deux surfaces données. En les assujettissant à se déplacer sur deux courbes appartenant à ces surfaces, on voit que la droite AB est normale aux deux surfaces.
318. Lignes géodésiques d'une surface. — Soit à trouver la ligne la plus courte entre deux points donnés sur une surface donnée.
La ligne demandée est dite une ligne géodésique de la surface. Soient (xl3 yls zj, (x2, y2, z2) les coordonnées des points donnés, et soit F(x, y, z) = 0 l'équation de la surface donnée. On a trouvé ci- dessus
SU
dx ds
dy *„ ds
te + lrJy- ~ir„ 8:
ds
dx . dy * ,dz
oxd- — \- oud-.- + ozd-r-
ds J ds ds
le minimum de 17 exige
'dx
Zx-^—Z 4- — oz ds °X ds °^ ds
dz
R .dx , . .dy . ç, .
oxd^^oyd- + ozdds
Comme la ligne cherchée doit se trouver sur la surface, les variations Sx, oy, oz vérifient l'égalité
On en conclut (315) les relations
dx
ds F'7
dy ds
ds
Les antécédents de ces rapports sont proportionnels aux cosinus directeurs de la normale principale à la ligne cliercliée (I, 254); les conséquents sont entre eux comme les cosinus directeurs de la normale à la surface. Par suite :
Le plan oscillateur dune ligne géodésique dune surface eut constamment normal à la surface.
La propriété d'être la ligne la plus courte entre deux points n'a pas nécessairement lieu pour tous les arcs d'une ligne géodésique. Par exemple, les lignes géodésiques d'une sphère sont des grands cercles; mais un arc de grand cercle n'est la ligne minimum entre ses extrémités que lorsqu'il est inférieur à une demi-circonférence. De même un arc d'hélice cylindrique, pour être la ligne la plus courte entre ses extrémités, doit être moindre qu'un tour de spire.
Brachistochrone.
319. Trouver la courbe AMB que doit suivre un point matériel pesant pour aller du point A au point B dans le temps le plus court; les points A et B sont donnés ou assujettis à se trouver sur des courbes données.
Cette courbe s'appelle brachistochrone.
Prenons trois axes rectangulaires dont l'un, celui des x, est vertical, et désignons par (xlf ylt zx), (x2, y2, z2) les coordonnées de A et B (fi g'. 39), par (x, y, z) celles d'une position quelconque M du mobile.
Le mobile partant sans vitesse du point A, sa vitesse en M
Fig. 39.
est égale à M 2g h, h étant la hauteur de la chute, c'est-à-dire x — x\. Mais si s désigne l'arc parcouru AM, et t le temps
ds
employé à le décrire, cette vitesse a aussi pour expression
dt
Il en résulte
ds dt
Y 5 'g (oc — a^), ou dt
ds
V 2g{x — xx)
Soit T le temps nécessaire pour parcourir l'arc AMB ; nous aurons
ds
Il s'agit donc de trouver le minimum de l'intégrale
ds
\J x — xl Le point A étant supposé mobile, on a
. OX ox
\Jx — xl &ds — ds — -. — 1
ds
C% ods r1 dslx , r~ (
J ! \x — xl J l 2(x — xx)2 J i 2(x X^)l
Le dernier terme de cette valeur de oU rentre dans la partie désignée par H ; le second n'a pas besoin de transformation. En observant que
ds . S ds = dx . o dx -f- dy . o dy -f- dz . odz
et en écrivant X au lieu de (x — x}) 2, on a, pour le premier terme,
en intégrant par parties, on le ramène à
vfdx^ dy 5 dz«
j;[-(x*)v, + -(x*)^ + -(xg)fa]
La valeur de oU devient
v dx dy* , ck*
ds
cfo
2(0? — xxy
-jm^-jm**;
flk\
Si l'on égale à zéro la première ligne, on a l'équation aux limites
' v fdx dy * dz \f , f2 ofc
les coefficients de ô.v, oy, 83 dans les trois dernières intégrales qui entrent dans SU, doivent être nuls, par suite
, /„,. dx\ ds
d[Xds) + 3 = 0, (2)
2{x — ocxy
Il suffit de considérer les équations (3). On en déduit
*!-* xï=c- <4>
d'où, par division,
du c c . „
-?- = —r ' ou y = ~r * + c • ûte c' y c'
Ce résultat montre que la courbe cherchée est située dans un plan vertical.
320. Pour reconnaître aisément la nature de la courbe, nous opérons comme si les points A et B étaient connus. En conséquence, prenons pour axe des x la verticale par A, pour axe des y l'horizontale menée par A dans le plan a*AB. La première des équations (3) devient successivement, a désignant une constante,
ife i = 7V [/a dy = '<*/*+ + & -
On intègre l'équation (5) en posant x = a sin2 v 0 (voir p. 248, 3°).
La brachistochrone est donc une cycloïde ayant un rebroussement en A et une base horizontale.
321. Supposons que les extrémités A et B de la courbe soient assujetties à se trouver sur deux courbes données a et |3. En remettant les axes coordonnés dans une position quelconque, on a l'équation aux limites (1); les déplacements des points A
et B sur les lignes a et ?> étant indépendants l'un de l'autre, on doit poser séparément
[dx ox -}- dy oy -\- dz oz]2 = 0 ,
ds
(dx dy dZ *S\ - I
2{x — xxy
où les indiees 1 et 2 ajoutés aux crochets indiquent que les variables x, y, z sont remplacées respectivement par xXi ylt zx ou par \o, y2, z2.
L'équation (6) indique que la courbe cherchée est normale en B à la ligne ,3. Pour interpréter l'équation (7), nous intégrons l'équation (2j entre les limites x{ et x2, ce qui donne
dx ds
ds
le dernier terme de (7) est donc égal à et on peut écrire cette équation ainsi :
2(x — x,)~ dx'
ds
dx ds
oxx-\-
tyi +
dz' ds
dx
^ ds
dx ds
ex
Ji
oxl = 0.
Les termes extrêmes se détruisent; de plus, de (4) on déduit
dy'
dy
„dz
^dz
ds
ds
de sorte que
.dy
ds
cita;
oj?j = 0.
ou
dy2oy} -f- dz£zl -\- dx2oxl = 0
On voit que la tangente en B à la bracliistoclirone est perpendiculaire à la tangente menée en A à la courbe a.
Exercices et notes.
