La variation de j / '(y, p) dx est

flv + co /;;| + f* <* (p/J) - df] ox + f [/J<to - rf/j] oy .

On i>osera donc soit d(pf') — t//* = 0, soit /"'ûfa? — df = 0, d'où (/*= pf -j- C). Ramener ces équations l'une «à l'autre.

3. Par deux points donnés A, B, faire passer une courbe plane ACB (convexe vers AB) telle que l'arc ACB en tournant autour de la droite AB engendre une aire donnée u et que l'aire comprise entre la corde AB et l'arc engendre un volume maximum.

Les axes coordonnés étant xVB et la perpendiculaire en A, on cherche le maximum de l'intégrale (306)

Jo

{yz dx -f- \y ds) .

La variation de cette intégrale est

l2 Zoc » X!/ dx ™ + dy %y

|y ™ + ty - ds

0JC

^tfj)

+ r\ ^(to+^-^|)

En égalant à zéro le coefficient de Bx sous le signe | , on obtient

Si l'on suppose C = 0, on trouve (x — C')2 + l/2, = ^2> et la courbe cherchée est la demi-circonférence de diamètre AB ; ce cas correspond évidemment à u = izcr. L'équation (i) n'est pas intégrable dans le cas général, mais on en peut déduire s en fonction de y.

4. Par deux points donnés, mener une courbe telle que la surface S engendrée par cette ligne en tournant autour d'un axe vertical Ox éprouve la moindre résistance lorsqu'on la plonge dans un milieu fluide résistant, le long de Ox

Soit MN = ds un arc infiniment petit de la courbe cherchée, et soit rfS l'élément de surface qu'il engendre pendant une rotation infiniment petite autour de Ox. On admet que la résistance éprouvée par rfS pendant un

déplacement de S le long de O.v est dirigée suivant la normale en M à la surface S et est proportionnelle au carré de la projection de la vitesse sur cette normale. Si (x, y) sont les coordonnées de M et a l'inclinaison de la normale en M sur Ox, la projection de la vitesse v sur la normale est v cos a, et la résistance de l'élément dS est kv~ cos2 a. dS, k étant une constante. Si on décompose cette résistance en deux autres dirigées l'une suivant une parallèle à Ox et l'autre suivant une perpendiculaire, la première composante est ku- cos3 a. dS; la somme de toutes les composantes analogues le long de la zone engendrée par l'arc ds est ko2 cos3 a . 2r.yds; on a donc pour la résistance totale de la surface S

JX2 y COS3 a ds.

Il faut donc trouver le minimum de I - - — ^dx. En appliquant l'exer-

deJj

cice 2 on trouve pour équation de la courbe cherchée

Ensuite

x et y sont donc exprimés en fonction de p. Le problème donne lieu à une discussion.