rfa

a; zb

3. Soit maintenant ¥{t) une fonction connue dans l'intervalle (a, (3). Par un changement de variable, nous la transformons en une fonction f(x) qui est connue dans l'intervalle (0, 2it).

Admettons, pour un instant, la possibilité du développement

f(x) = a0 -\- al cos x -\- bx sin x -\- a2 cos 2x -\- b2 sin 2x -\- ...; (1)

les coefficients a0, a15 b{, a2, ..., pourront être déterminés comme suit.

Multiplions les deux membres de (1) par cos nx dx et intégrons de 0 à 2tt. Le premier membre devient Liv f(x) cos nx dx ;

le deuxième membre sera une somme d'intégrales qui sont toutes nulles (lemmes II et III), à l'exception de celle qui multiplie an. On a donc (lemme IV)

| * v f{x) cos nx dx = ou| ' cos2 nx dx = r,an ;

d'où l'on tire

an = - I f(x) cos nx dx .

On aura bn en multipliant les deux membres de (1) par sin nx dx et en intégrant de 0 à 2tt ; il vient

bn = - \ f[x) sin nx dx .

Pour calculer a0, multiplions l'égalité (1) par dx et intégrons ensuite de 0 à 2r. ; nous aurons

a0 = -- /"(x) ofo? .

D'après cela, a0, ^- an,-,.- 6n sont les valeurs moyennes des

fonctions f(x), f[x) cos nx, f{x) sin nx dans l'intervalle (0,2~) (56). Le développement clierclié est donc

i fr~ i r271 \

f(x) = — /Ya?) dx -\- - S cos ?u? /"(a?) cos ««? <^ J

2ttJ0 tc Jo > (2)

H — S sin ?i# /*(#) sin nx dx, \ * Jo ' J

n recevant successivement les valeurs 1, 2, 3, —