Application. — Soit à développer la fonction

f(x) =^oc, entre les limites 0 et 2*. Dans cet exemple,

2~aa =1 x cos nxclx

a? sin »# cos nx'

2~bn

x sin nxdx =

.t cos nx

ir

sin «#

Par conséquent, le développement cherché est

x 7i sin a; sin 2x sin 3-r 2 == 2 " 1 2~~ ~~ 3^

Si l'on y remplace x par - — y, on obtient

- = sin y

sin 2// sin 3i/

La variable y étant comprise entre — ~ et ~.

5. Il resterait à établir les conditions nécessaires et suffisantes pour que le second membre de (2) représente bien f[x). Nous nous bornons à énoncer les conditions les "plus usuelles, elles sont connues sous le nom de conditions de Dirichlet :

Si la fonction f(x) reste finie pour toutes les valeurs de x de V intervalle (0, 2~) (sauf peut-être quelques-unes) et na qu'an nombre limité de maxima et de minima dans cet intervalle, la

série de Fourier a pour valeur- [fvx + 0) + f(x — 0y].

Si donc x ne correspond pas à une discontinuité, la valeur est bien f[x). Pour x = 0 ou x = 2~, la série (2) devient

on démontre qu'elle a pour somme

On démontre également qu'on peut intégrer les deux membres de l'égalité (1) ; mais il n'est pas toujours permis de dériver les deux membres : la série (3), par exemple, si on dérive ses termes, conduit à une série divergente.