Dérivée d'une fonction imaginaire d'une variable réelle

— Soit

y = fi?) -f- i?{x),

f(x) et o(*v) étant des fonctions réelles continues et admettant des dérivées f'(x), '-?'(x) ; la variable x est supposée ne prendre que des valeurs réelles. Le rapport

Aj/ = i{oc 4- Ar) + /'K^'i-M — !/(,'■) -f fo(a?)1

Ar A./'

/■(a; -|- Ajc) — /"(je) . ©(a? -f- A;zN, — cp(a?) A.?; A.v

quand A.v tend vers zéro, a pour limite

/•' x) - h iVj

tte limite es! appelée la dérivée de // ; elle se calcule par les règle.-- indiquées pour les fonctions réelles. Ainsi,

même pour les valeurs de x extérieures a. l'intervalle ( — 1, \- 1 i.

Application des dérivées a l'étude des fonctions.

82. Définitions. — Une fonction F(a) est dite croissante on décroissante dans un intervalle (a, b) si, x1 et a*" étant deux nombres quelconques appartenant à cet intervalle, les différences F(a") — F{x') et x" — A,r sont de même signe ou de signes contraires. Par exemple, la fonction sin a* est croissante dans

l'intervalle 0, li décroissante dans l'intervalle f '*» -Jr)'

Une fonction F(A) est dite croissante ou décroissante à droite d'une valeur x x0, si l'on peut assigner un nombre positif x suffisamment petit tel qu'on ait, respectivement,

F(r0 \-h)> F(xQ), F{crQ + h) < F(a-0).

pour toutes les valeurs positives de h inférieures à x.

Vue fonction F(.v) est dite croissante ou décroissante à gatuche de la valeur x = a0, s'il existe un nombre positif à suffisamment petit tel qu'on ait, respectivement

F(^o - *) < FK), F(<r0 - //) > F(œ0).

Nous considérons comme suffisamment intuitif le théorème suivant : si une fonction F(x) est croissante (ou décroissante) autour de toutes les valeurs de x appartenant à un intervalle (a, /)), elle est croissante (ou décroissante) dans cet intervalle.

83. Théorème. — Si, pour x x,,, la fonction F(x) csf continue et a 777ZC dérivée unique et positive, elle est croissante ; si la dérivée est unique et négative, la fonction est décroissante.

En effet, soient (x0, y0), (x0 -f- /*, y0 | /c) deux systèmes de

valeurs de v et de la fonction. Par hypothèse, le rapport , tend

vers nue limite unique F' a0) lorsque h tend vers zéro en passant

soit par des valeurs positives, soit par des valeurs négatives.

Si F'(.\\,) ]> 0, le rapport ' finit par être toujours positif, et /.• et

h auront constamment le même signe : donc F(x) croît dans un intervalle infiniment petit comprenant x0.

De même si F'(x0) < 0, la fonction est décroissante pour .v x0.

84. Remarques. — On démontre de la même manière les propositions suivantes ;

1" Si, pour a; -a,,, une fonction a une dérivée à droite qui

est positive on négative, elle est, respectivement, croissante ou décroissante à droite de \\r

Si, pourA=A0, la fonction a une dérivée à gauche qui est positive ou négative, elle est respectivement croissante ou décroissante à gauche de Xo.

2° Soit F ,vj une fonction continue pour x =x0 et admettant une dérivée à droite F'(.v0 - 1- Oj différente de la dérivée à gauche K'(.\'o — 0). Si ces deux dérivées sont positives, la fonction est croissante autour de a0 ; si elles sont négatives, la fonction est décroissante autour de a0; si elles sont de signes différents, la fonction est croissante (ou décroissante) à droite de x0 et décroissante (ou croissante) à gauche.

85. Maximum ou minimum. — Soit F(x) une fonction continue pour x A'„ et admettant une dérivée dans l'intervalle (x~h,.x0 + h).

Si, x variant de a0 — h à xQ j- h, la dérivée passe du positif au négatif au moment où a* traverse la valeur a*0 , la fonction Fia) est croissante à gauche de x0 et décroissante à droite ; on dit alors que F(a0) est un maximum.

Si, dans les mômes conditions, la dérivée passe du négatif au positif, la fonction F{x) est décroissante à gauche, croissante à droite; on dit maintenant que F(at0) est un minimum.

Le plus souvent, la dérivée est continue et change de signe en passant par zéro. Mais le changement de signe peut aussi avoir lieu parce que la fonction admet, pour x = x0, une dérivée à gauche et une dérivée à droite qui sont de signes contraires; ce cas comprend celui où la dérivée passe par l'infini en changeant de signe