Application. — Etudier la fonction

( 'ette fonction n'est réelle que dans l'intervalle ( — 1 , 1 ) ; comme elle ne change pas quand on remplace x par — x, il suffit de faire varier x de 0 à 1.

Pour a = 0, y = 0; pour x — 1, y — oo. On a

le logarithme d'un nombre plus petit que L'unité étant uégat'if,

la dérivée y' se compose de deux termes négatifs. Par suite, dans l'intervalle (0, 1 ), y décroît constamment de 0 à — oo.

Théorème de Rolle.

87 Théorème. — Soit F x une foin-lion de x, finie et continue dans V intervalle (a, b et admettant pour chaque valeur de x comprise entre a et h une dérivée unique. Si l'on a F(aj = O, 1-M> - 0, la dérivée F' x) s'annule au moins pour une valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b).

Autrement dit. si les conditions relatives à V x et FV.v sont remplies, deux racines réelles de Véquation F x) = ^comprennent au moins une racine de l'équation dérivée F'ixi 0.

Faisons varier .\\ d'une manière continue, de a à b (a < b); la l'onction F(.Y) aura pour valeur initiale et pour valeur finale zéro. Si (die était constamment nulle, sa dérivée le serait aussi et le théorème serait démontré. Supposons qif il n'en soit pas ainsi Alors la fonction ne peut être toujours croissante ni toujours décroissante; car elle est finie et continue, part de zéro et finit par zéro II existe donc au moins une valeur .y = c, coinprise entre a et /), pour laquelle la fonction passe par un maximum ou par un minimum (*.«, c'est-à-dire de croissante devient décroissante ou inversement. La dérivée doit donc changer de signe pour x c, et comme elle est unique, elle s'annule nécessairement pour x = c (85).

La courbe représentative de la fonction y •■•■= F .x rend le théorème de Rolle en (pi cl que sorte intuitif. En effet, com nu- on suppose Y(a — V /> 0, elle coupe OX en deux points A et B avant pour abscisses a et b. Entre A et B, elle présente un trait ininterrompu ACB ; soit C le point il<j l'are ACB le plus éloigné de Taxe OX. Ce point ne peut être un point anguleux ni un point de rebroussement à tangente verticale i* . puisque la dérivée I- " a . dans l'intervalle (a, b) a une valeur unique; c'est donc un point où la tangente est parallèle à OX. Cette conclusion aurait encore lieu si la courbe ACB avait un point d'inflexion à tangente verticale, c'est-à-dire si la dérivée devenait infinie sans chauffer de signe.

Nous considérons cette conclusion comme intuitive; (die peut être établie rigoureusement Théorème de Weierstrass .

Eu un tel point, 1 ' .v passe de - oo à — oo ou inversement.

Théorème dks accroissements finis.

88. Théorème de Lagrange. — Si une fonction F(x), finie et continue dans l'intervalle (a, b\ admet pour chaque valeur de x comprise entre a c/ b une dérivée unique et bien déterminée, il existe un nombre c compris entre a ef b, /c/ f/z/c /'o/i ait

nb)-m =F,ic

Posons

A avant une valeur finie et déterminée, cette égalité donne

Considérons la l'onction auxiliaire

elle est finie et continue dans l'intervalle (as, 6), s'annule pour x a et a* = £>, et admet une dérivée

qui est unique et bien déterminée. Donc, en vertu du théorème de Rolle, ®'(x) s'annule au moins pour une valeur .v — c comprise entre a et b. Il en résulte — F (ci -f A ■= 0, ou A == F'(c). fce théorème est donc démontré.

Remarque. — Ecrivons x pour a, x -\- h pour b, x -f û/j pour c, 0 désignant un nombre compris entre 0 et 1 ; nous aurons

ou

Vï,v + h) — F(xc) = ftF?(as + 0//). (1)

L'égalité / ') a reçu le nom de formule des accroissements finis.

Le théorème de Lagrange ne diffère pas essentiellement de celui de Rolle. En effet, construisons la courbe ACB qui a pour équation y = Fi x : soient A, B les points qui correspondent aux abscisses .v, x -\- h. Sur l'arc ACB il existe au moins un point C où la tangente CT est parallèle à la corde AB. L'abscisse de C est de la forme x + Qh (0 < 0 < 1) ; en exprimant que les droites AB et CT ont même coefficient angulaire on obtient l'égalité (1).

89. Théorème. — Si la dérivée d'une fonction F(x) a une vuleur constante m dans V intervalle (a, b), cette fonction a, dans cet intervalle, la forme mx -f- n.

En effet, x désignant un nombre quelconque compris entre a et b, le théorème de Lagrange donne

ou F(œ)*=œF\c) -f F(fl) - aF'(c)

Par hypothèse, F'(c) a une valeur /» indépendante de .\\ F(a) — aF'(c) est une constante n ; doue F(.yï a la forme /?i.v -\-n.

Corollaire. — Si F'(x) est constamment nulle dans l'intervalle

(a, b), F(.v) a une valeur constante n dans cet intervalle.

90. Théorème. — Deux fonctions continues dont les dérivées sont constamment égales dans l'intervalle a, b , ont une différence constante pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b.

En effet, soient V ,vi,/(.v) ces fonctions. La fonction F(x) —f x), par hypothèse, a une dérivée constamment nulle dans l'intervalle (a, b) ; elle a donc une valeur constante (89).

91. Théorème de Cauchy. — Si les fonction F,x), f(x) et leurs dérivées sont finies et continues dans l'intervalle (a, b) et que f'îx) ne s annule pas entre a et b, on a

où c est un nombre compris entre a et £>.

En effet, f'(x) étant continue et différente de zéro a un signe constant dans l'intervalle a, b); donc fx) est toujours croissante on décroissante et Ton a f{b) — /"(a) / 0. On peut donc poser

m -ru, '

A ayant une valeur finie et déterminée. Cette égalité donne FKb) -F(a)-A[f(b)-f(a)] = 0.

Considérons maintenant la fonction auxiliaire

^SF^-FM-AI/li)-^)].

Elle est finie et continue dans l'intervalle l'a, b) ei admet* une dérivée unique et bien déterminée

De plus, œ'a) 0, »(/>) = 0; donc la dérivée »'(#) s'annule pour une valeur x c comprise entre a et /; (87). De l'égalité

<p'(c) == 0, ou - F'(c) + A/*(cj = 0,

on tire A = ... ; par suite f\c)

F(b) — Fia) F^(c]

Corollaire. — Un changement de notations (88) donne F(x+h) — F(x) ^F'^ + Mi o^0<r,

/'-• -1-/0 -/to "~7V MV ^ v '

Exercices et notes.

t. Construire les courbes représentées par

/ 1 N> y* = K'.r), // = arEj- , y

\xj x

y -a-2 -hE(.T), y- = a?E(z .