III. La série du binôme

.m m(m — 1) . m(m — l)...(m — ft+2) j ■ ,

l+y* + T2 -* -h--., h " (n __ 1}j tr -h--- ->

est convergente lorsque .v est compris entre — 1 et -f- 1.

Si m est entier et positif, l'expression (3) se compose de m |- 1 termes et représente (1 -f .v)m ; dans les autres cas elle est illimitée. Pour trouver les conditions de convergence, observons que

d'où l'on déduit

un+i m — n -f 1 . /,/ -|- 1 \ wn+1

+ = - — 1 )x, lim — — x.

Cela posé, nous distinguons trois cas : 1° x <^ 1 ; la série est convergente. 2° x ^> 1 ; la série est divergente.

3° a- = ± 1. Si 721 -f- 1 < 0, le module de — - est constamment

Un

supérieur à 1, tout en ayant pour limite 1; donc la série csi divergente. Si m -\- 1 = 0, la suite (3) devient

1 X -\- XZ — 073 -f" • • • ,

de sorte qu'elle est divergente pour x — — 1, indéterminée pour x = -\- 1. Il reste encore à examiner l'hypothèse m \~ 1 > 0.