II. y = eW*r

I I 1. // ~; si II X ,

//' cos ,r, #"«= — sin.r, //" - cos .r, //v sin.v.

Comme yIV = y, les dérivées successives se reproduisent de quatre en quatre. Pour trouver une formule générale, observons

que la dérivée de sin ,v | -a) est cos (x -|- a) sin (.v -{- a I

il suffit donc d'ajouter^ à Tare. La />'' dérivée de sin x est donc

sm ; .v |- /> -

De môme, la //' dérivée de cos .v est cos ; x | ]> . IV. y - ïx.

94. Différentielles successives. — Par définition, la différentielle d'une fonction est le produit de la dérivée par la différentielle de la variable indépendante. D'après cela,

dy =y'dx] dy'=y''dx, dif i= y'"dx, ...

La différentielle dy étant fonction de x admet à son tour une différentielle, qu'on appelle la différentielle deuxième de y et qu'on désigne par dry ; la différentielle de d2y est la différentielle troisième de y et se dénote par dsy ; et ainsi de suite.

Pour calculer d-y, on doit multiplier la dérivée de dy par l'accroissement de x. On convient que l'accroissement de x est toujours le même dans le calcul des différentielles successives de y. La dérivée de dy, ou de y'dx, est y'dx, car (/.y c7a/?/ i/irfépendnnt de x se comporte comme une eonsUuite ; par suite f/'-'y // V/.v . dx y"dx2. De même, la dérivée de (/-y, ou de y'V/.v-, étant y"V/.v-, on a (Z?y - y"'dx2 dx =y'"dx3. En général,

95. Remarques. — 1. Si la dérivée y11- est finie, la différentielle ne de y est infiniment petite du iï' ordre.

Jl. Des valeurs de <l\Y, d*y

tlc-

.. . on

dé<

uit

d> dà

On est ainsi conduit à une nouvelle notation pour désigner les délivres d'ordre supérieur : la dérivée ne de y peut s'indiquer par 1 o quotient de la n" différentielle de y divisée par îa ue puissance de la différentielle de la variable indépendante.