III. On trouve aisément la formule

l)n(^ -f r — w) = DnM + I)nr — D'1"'.

96 Formule de Leibniz. — Cherchons la dérivée ne du produit iuk u et v étant deux fonctions de x. On trouve facilement:

])(/,r) = uT)v | r\)/f,

Ds(îm?) = ub*v - 3DuT>-v -f 3I>-VI>r -f rI>:V :

ce qui fait soupçonner la formule générale

Dn(?«7) — »Dn» -f- CiDwD»-1» -f C£D2«Dn-2r h ••• -f CïDPwD°-r« I ... -f- »Dnu,

C}i, (';,, ... étant les coefficients du développement de i..v -f- a)n.

Supposons la loi vérifiée jusqu'à la dérivée ne et cherchons la dérivée d'ordre n 4- l. Nous aurons

Dul)nv -f- Ci

D2/«Dn~'î3

Or, la somme de deux coefficients consécutifs du développement de (x I a)n est égale à un coefficient de celui de (x \- n)n ! l ; donc

1 >n î l(uv) = uT>n+h> -f- Ci+i Di«Dnu i- Ci+iD*MDn-,f -f- ... h ti)^1".

La loi est donc générale.

On écrit symboliquement :

\v\itv) = (Dw + Di?)",

en convenant de développer (Du 4- Dt>)n par la formule du binôme, de remplacer les termes extrêmes par l)°uDni), DnizD°y et de regarder les dérivées d'ordre zéro comme égales aux fonctions n. v.

Exemple. — Prenons u •— coabx, V cnx ; nous aurons

j)n^,ax (.os /Ar) ^ ^as an t.()S \JX | fj}^" 1/, COs(foc | ~ i

h C-aP-W cos (te + 2^) -|- ... -f 6" cas (bx 4- »£) I ■