Dérivées successives d'une fonction de fonction. — Si

l'on donne

y = FKu), u = %{œ),

on trouve

iV; - f>) • »'s + F'C«Kf,

3/» = F'» . w'3 + 2F"(u) . w'w" -{- F»«V 4- F'(h)w"' = F"»**'3 -f aF"(i*Xtt" + F»'".

Ainsi de suite. La formule générale est peu utile ; dans la pratique, il est préférable d'opérer directement.

Exemple. — 'Prouver la troisième dérivée de 3* F(emx). Convenons de désigner par F pî(iz) la ;>e dérivée de F(u) par rapport à h, par F>ù(emx) ce qu'elle devient quand on remplace 11 par em*. Alors

//' ==■ w.<?m*F'(emx),

y" = >//-c,TlxF'(r'nx) + w,e2-m*F'\cmx),

y"' = m*e"xF'(e™) -f 3///V-nxF"(Vnx) f m3e3inxF'"(c^x).

98 Dérivées partielles des ordres supérieurs. — Soit r Fi.v, y) une l'onction de deux variables indépendantes .v, y. Elle admet deux dérivées partielles du premier ordre que Ton représente par

f> Dx*. P'.i f. D,«r. F',.

ÔX ()(/

La dérivée partielle de s par rapport à x admet une dérivée partielle par rapport à x et une autre par rapport à y, qu'on désigne par

()':' TV * P'» 17" • Tr - R»

V » ' J\v--> 1 xx, 1\2 • , ; ' t)Xv~-, 1" xy.

De même les dérivées partielles de ■- sont indiquées par

1 dy

S;- "y-- ''">- £,• "">• p"k. i'"ôyâx <)y~

Ainsi de suite pour les dérivées troisièmes, quatrièmes*, etc. Exemple. — *'= x™yn\

<>:■ , dz .. .

— ùixm y/n, , ;/./'m// ■ ';

Mm - 1 |i1Hi -V". "~~ — ;/^/.rm-lyn-l/'y. * . . }/{l/ j ^.nyi > .

dx- ' dxùy Oy

? mim — \\[m — 2)xm~3t/n, , — mrilm — l)jcm yn., etc. ox O.c'ôy

99. Théorème. — Soit z = F(x, y z//îc fonction de deux variables. Tant (juc les dérivées

dz dz • ù2z d2z

().r oy oxoy àyox

sont des fonctions continues de x et y, on à

dxèy ùyôx

Kn effet, donnons a .v un accroissement h, et désignons par Pi.v. ri l'accroissement correspondant de F .\\ y i, de sorte que

Un accroissement frde y fait prendre à F .v. y; l'accroissement

' P(^r-^HPkf- / ,9)

F(* h *, y h A) - F(*, .V h *J - Ffc -f h, //) -f F(a?, y). \

Faisons maintenant ces opérations en sens inverse. Soit (^(,v. y l'accroissement de F(a:, y) qui correspond à l'accroissement Ade y : nous aurons

Q(.r,y) - F("./-.//-|- /*) — ?vv,y). (3)

si l'on donne ensuite a .v l'accroissement /*, l'accroissement

de <c) .v. y) sera

Q ce \-h,y) - Qx.ty) = F«a :|-A,.// h*)™ F(.t h A, .y) - F(*r, .'y -h h h F(a?, y). On voit immédiatement que

P(jî,y f *) — P.^y) ==Q* h A", y) -Q'x.y). (4)

Appliquons aux deux membres de la relation (4) la formule des accroissements finis (88); il vient

/dyy(.r,// -h .6*) = hQ\[x + OjA, y). (5)

Mais de l'égalité (1) on tire

d'après la formule des accroissements finis, le second membre de (fi) peut prendre la l'orme /?FJ.'x('.v | 02/i, y); donc

et en remplaçant y par y -f 0A\

i>;.r.r, y + 6/:) = //f;w.^ i- 0.7,,// + oa).

Semblablement,

Q'*(* M&y)== *FX> -1-0,//,// h M)- La relation (o) est ainsi remplacée par celle-ci :

*AF;x(* M4/i,y ] - 0/,-) .- hkvy.r | -0,//, // -f-'V).

Divisons pur /»7j et passons à la limite pour /i - 0, /r = 0; les dérivées l?" (x, y), Fxv(À*,yj étant supposées continues, on trouve

Le théorème est doue démontré.

Cette démonstration est due. à O. Bonnet.

100. Corollaire. — Pour calculer une dérivée partielle quelconque pur rapport à plusieurs variables, on peut intervertir arbitrairement Vordi'.e des opération*.

1° On peut intervertir l'ordre des deux dernières opérations.

Ainsi,

dxOydvdt dxùydtdv

Lu effet, si l'on fait Z = ■ > cette égalité prend la tonne

dxoy

<)rôt ' ' <>/<)>■ '

on voit qu'elle résulte immédiatement du théorème précédent.

2° On peut intervertir Tordre de deux dérivations consécutives quelconques, Par exemple,

dxdydvdt dxdvdydt

Car, d'après le premier eus.

<Pz <r:.

ôxdydv dxdvdy

dérivons les deux membres de cette égalité par rapport à/, etc.

3° On peut intervertir, d'une manière quelconque, Tordre des dérivations. Car en intervertissant deux dérivations consécutives, on peut donner aux opérations un ordre quelconque.

101. Une fonction z de deux variables indépendantes admet deux dérivées du premier ordre et trois du second ordre. Dans la théorie des surfaces, on adopte les notations suivantes :

dz ùz dx y;' d'y

di z

dx1

- r> \ v = s< oxoy

dzz

Les dérivées du troisième ordre sont au nombre de quatre :

<rz d*z <rz d*z

dx* ' dx2dy ' dxdy2 ' ô>f '